V. cap. V, pag. 137.
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V. Cap. V.
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Solo quando V = O, cioè quando non vi è dispersione, si ha V = V(k0).
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v 1+ v 2 = v 2+ v 1
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v = v vers v.
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Qualunque sia a, il vettore a v è parallelo a v (o nullo) e, viceversa, per v ≠ 0, ogni vettore v' (nullo, o) parallelo a v è rappresentabile sotto
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v' = a v,
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Prodotto di un vettore per un numero. - Se v è un dato vettore ed n un intero positivo qualsiasi, la somma di n vettori uguali a v è, per definizione
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Più in generale, si chiama prodotto del vettore v per un numero reale qualsiasi a e si denota con a v (o indifferentemente con v a) il vettore che ha
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In ogni caso il prodotto scalare di v 1 per v 2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
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19.Prodotto Scalare. – Dati due vettori v 1, v 2, entrambi diversi dallo zero, dicesi prodotto scalare (od interno) di v 1, per v 2 il prodotto v 1 v
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Dalle precedenti definizioni risulta che v 1 x v 2 è nullo sempre e solo quando sia nullo almeno uno dei due vettori oppure i due vettori siano
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Anzi osserviamo che se, nel caso di due vettori quali si vogliono v 1 e v 2, la direzione di uno di essi p. es. di v 1, si considera orientata nel
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Il prodotto v x v di un vettore per se stesso, che si suol indicare più semplicemente con v 2, coincide (essendo ) col quadrato v 2 della lunghezza
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mentre non vi è luogo a considerare la proprietà associativa, in quanto, essendo v 1 x v 2 uno scalare, il simbolo ( v 1 x v 2 ) x v è privo di senso.
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in quanto, essendo vers v un vettore unitario, essa esprime semplicemente (n. prec.) che la componente di v 1 + v 2 , secondo la direzione orientata
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(18) τ = V + V',
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Ciò premesso, dicesi prodotto vettoriale(od esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1
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Se è nullo anche uno solo dei due vettori v 1, v 2 o se i duevettori son paralleli ( ), la definizione precedente è ancora applicabile, in quanto
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21. Prodotto vettoriale. – Due vettori v 1, v 2 non paralleli (ed entrambi diversi dallo zero) determinano, nell’ordine in cui son dati, su ogni
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Notiamo infine che per avere il vettore applicato in un generico punto O, che rappresenta il prodotto v 1 Λ v 2, di due vettori non nulli, né
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Le (18) non richiedono dimostrazione quando sia v 1 = 0 o quando v 1 e v 2 siano paralleli, giacché in tali ipotesi tutti e tre i membri sono nulli
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Se poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di
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e immaginiamo applicati in un medesimo punto O i vettori u, v 1 e v 2, sarà rappresentato dalla diagonale uscente da O del parallelogramma di v 1 e v
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(11) v* = - v.
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v a = v r + v τ
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Per estenderla al caso generale dimostriamo anzitutto che il prodotto vettoriale v Λ v 1 di un qualsiasi vettore v (non nullo) per un vettore v 1
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Ciò premesso, per dimostrare la (19) indichiamo con v 1 ', v 2 ' i componenti di v 1, v 2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia v 1 '+ v 2
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Ma, poiché v è ortogonale a v 1 ', v 2', si ha per la prima parte della dimostrazione
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(1) v a = v r,
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Dalla relazione vettoriale v a = v r + v τ segue
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Il prodotto scalare v 1 x v può così interpretarsi (n. 19) come prodotto di v per la componente di v 1 secondo codesta perpendicolare al piano
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Notiamo che il valore assoluto di v 1 x (v 2 Λ v 3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori v 1, v 2, v 3. Per dimostrarlo, escludiamo
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26.Doppi prodotti vettoriali. - Altra formola notevole relativa a tre vettori generici v 1, v 2, v 3 è la seguente:
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Dalla (26) risulta senz’altro che i due prodotti v 1 Λ (v 2 Λ v 3) (v 1 Λ v 1) Λ v 3 non coincidono; in altre parole non vale pel prodotto vettoriale
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v' - v.
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v = v 0;
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In particolare se immaginiamo un vettore applicato v, decomposto nei suoi componenti v ', v", normale e parallelo ad r, e aventi la stessa origine di
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V = λ½v.
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Il sistema ( v 1, v 2 ), in quanto è a risultante diverso da zero, equivale necessariamente (n. 50) all’unico vettore v 1 + v 2 applicato in un punto
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56 . Sia dato in terzo luogo un sistema σ formato da più vettori applicati v 1, v 2 , … , v n, paralleli e diretti nello stesso senso e indichiamo al
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Un interessante corollario della formula di derivazione dei prodotti scalari si ha supponendovi v 1, = v 2 = v e v di lunghezza costante. È allora
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Il sistema costituito dai due vettori R e v' applicati in O e dal vettore -v' applicato in O' ha, manifestamente, rispetto ad O il risultante R e il
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rispettivamente equipollenti ai vettori v 1, v 2,…, v n del sistema
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Se v x, v y, v z, sono le componenti del vettore v, le coordinate x, y, z, del punto mobile P debbono variare in funzione del tempo in modo da
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v = v (P | t)
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VD + V’D’=(V + V’) d …….(1);
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se vi fosse contrazione invece di avere dopo il miscuglio il volume V + V’ si avrebbe p. e. 1/2(V + V’).
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Quest’equazione (2) dimostra che quando vi è contrazione i rapporti che hanno fra loro i volumi V; V’; V + V’/c non sono gli stessi dei rapporti dei
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Supponiamo che la contrazione sia 1/c’, vale a dire che dopo il miscuglio il volume sia soloV + V’/c, avrassi allora VD + V’D’ = V + V’/c d…………(2)
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Accademia della crusca
