Difatti, una prima coppia di autofunzioni ortogonali può essere costituita dalla Y1 stessa e da una opportuna combinazione lineare : basterà
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Per tale ragione, una sostituzione lineare i cui coefficienti soddisfano le (19) si chiama una sostituzione ortogonale.
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altre autofunzioni) le quali coppie si ottengono l'una dall'altra mediante una generica sostituzione ortogonale.
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(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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Una radiazione non monocromatica sarà rappresentata da una somma di termini del tipo (55) (con diverse λ e quindi diverse k e v) ognuna
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Escludendo dalle nostre considerazioni le singolarità non fuchsiane, partiamo dall'equazione (85), e cerchiamo di soddisfarla con una soluzione della
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delle variabili: esso consiste nel cercare una soluzione u (x, y) che sia il prodotto di una funzione X della sola x per una funzione Ydella sola y
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e si deve cercare, se è possibile, di ridurre l'equazione all'eguaglianza di un'espressione contenente sole funzioni di x con una contenente sole
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una fessura di larghezza d, ogni volta che una particella passa attraverso la fessura si può dire che si è determinata la sua coordinata y ( supposto
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Una particella incidente ha dunque, secondo la meccanica ondulatoria, una certa probabilità R di essere riflessa (con la stessa velocità) e una certa
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Difatti, secondo le leggi dell'elettromagnetismo, una carica elettrica irradia energia elettromagnetica ogni qual volta sia dotata di una certa
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Ha notevole interesse per le applicazioni (ad alcune delle quali si accennerà nel seguito) il problema del moto di una particella lungo una retta x
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Tra questi due limiti è sempre compreso : come si vede dall'ultima formula, esso non si annulla mai e quindi vi è sempre una certa probabilità che
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Per livelli di energia inferiori a 0 (tipo E''') si ha invece una ordinaria quantizzazione, e una limitata praticamente alla regione centrale; invece
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Analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso unidimensionale (§ 38), possiamo ora considerare brevemente il caso di una particella vincolata a
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Consideriamo ora una particella soggetta ad una forza centrale: converrà evidentemente servirsi di coordinate polari aventi il polo nel centro di
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dove è una costante.
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quantità dell'ordine di h, si è indotti a ritenere che si possa ottenere una prima approssimazione trascurando h, una seconda approssimazione trascurando
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Graficamente, si usa rappresentare i livelli corrispondenti ai termini su diverse colonne, una per la serie s, una per la p, ecc., come si vede nella
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L'elemento d'area del piano meridiano è dunque attraversato da una corrente di intensità , che descrive un cerchio di raggio e quindi equivale a una
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Lo sviluppo di una funzione in serie di funzioni ortogonali (v. § 9, p. II) ha una notevole interpretazione nello spazio hilbertiano. Consideriamo
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Nello spazio funzionale un o. l. stabilisce una corrispondenza tra vettori, che è la naturale generalizzazione di una omografia vettoriale
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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Passiamo ora a definire una funzione di più o. l. , , limitandoci (per semplicità di scrittura) al caso di due. Data una funzione sviluppabile di due
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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Alle formule del § 5 si può dare un'interpretazione espressiva se si conviene di considerare le componenti fn (che caratterizzano una funzione f
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Questo teorema suggerisce una importante generalizzazione del concetto di funzione di un o. l. (che fin qui era limitato alle funzioni analitiche
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Cominciamo con l'osservare che se è una qualsiasi successione di grandezze corrispondenti ai valori interi dell'indice n, quando questo indice
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Nella meccanica ordinaria, un'osservazione serve a conoscere il valore che ha in un dato istante una certa «grandezza meccanica», cioè una coordinata
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Analogamente a quanto fu fatto per una sola particella, introdurremo una funzione (complessa)
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come nel caso di una particella sola.
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Dunque lo spezzarsi dell'hamiltoniana nella somma di N termini ciascuno dei quali dipende dalle coordinate di una sola particella porta con sè la
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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Invece una e una sono evidentemente permutabili, cioè
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Per una funzione (razionale e intera) delle sole p vale una relazione analoga, e cioè, chiamando l'operatore P
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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e quindi una delle radici tende a , una a ecc.: con questo criterio si fa il coordinamento.
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Talvolta conviene (analogamente a quanto si è fatto al § 6 bis) considerare la coppia come una matrice a una sola colonna e a due righe, che si
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Uno stesso elemento presenta in generale diverse successioni di termini, caratterizzate ciascuna da un valore della costante a, e le frequenze di una
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dove rappresenta una qualunque permutazione
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dei numeri 1, 2,... N. La soluzione generale sarà una combinazione lineare di tutte quelle così ottenute. Di queste combinazioni ve ne è una
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. Applicando a una funzione (delle variabili di spin) antisimmetrica a o ad una simmetrica si trova rispettivamente
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Prima di descrivere le esperienze vogliamo però fare una osservazione generale per spiegare alcune locuzioni divenute abituali in questo campo di
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in tutte le direzioni una luce di composizione spettrale diversa da quella della luce incidente: p. es. una soluzione di fluoresceina, o di estratto di
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e si determina di nuovo la distribuzione: e così via, finchè si trova una tensione, per la quale si presenta un massimo in una determinata direzione
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Una notissima proprietà fondamentale delle equazioni di cui ci occupiamo è che, trovati due integrali particolari , che siano indipendenti (cioè tali
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Se si sanno esprimere esplicitamente y1(x), y2(x) in funzione dei coefficienti della equazione, la (6) assume immediatamente l'aspetto di una
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Dimostreremo ora una proprietà fondamentale delle autofunzioni.
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Ad un dato autovalore possono corrispondere, come si è detto, una o due autofunzioni linearmente indipendenti. Se ve ne corrisponde una sola, ciò
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a) Per ogni punto dello spazio delle fasi passa una e una sola traiettoria.
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Accademia della crusca
