, determinare una u (x, y) che entro S soddisfi la (89) e che sul contorno si annulli, o abbia la derivata normale nulla.
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(114) T = E-U,
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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Tenendo conto della (125), la relazione (123') tra la velocità di fase V delle onde di De Broglie di frequenza v ed il potenziale U diviene
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dove u è una funzione (generalmente complessa) indipendente dal tempo, il cui modulo rappresenta l'ampiezza delle oscillazioni della , e ..
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cioè: la parte spaziale, u, della funzione soddisfa la stessa equazione della . Poichè d'altra parte ciò che determina la distribuzione della
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intendiamo che nella U, nella ed in tutte le altre quantità che eventualmente interverranno, figura (oltre t) una sola delle coordinate spaziali, p
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unidimensionali poi si può anche invocare l'analogia con le oscillazioni trasversali di una corda, facendo corrispondere u allo spostamento della
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con . Se si rappresenta con una curva (fig. 24) l'andamento del potenziale U in funzione di x e poi si traccia la retta orizzontale di ordinata E, le
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Potremo porre nella (145) U = O, e allora, ponendo per brevità
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Supponiamo che una particella, di energia determinata E, sia soggetta ad un potenziale U(x) avente l'andamento rappresentato dalla fig. 25, e cioè
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La u sarà data dunque da
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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Osserviamo poi che, perchè la u si conservi finita anche per , dovrà essere : tenuto conto di ciò, le (175) danno, come prima,
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il che significa che tutte le particelle sono riflesse. Però la u è diversa da zero anche a destra di O, dove è data dalla (176), che si riduce a
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il
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(dove è un fattore costante di normalizzazione) e quindi, per la (185), una u data da
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Osserviamo che le cinque costanti devono esser legate> tra loro dalla condizione che la u sia continua, insieme alla sua derivata, nei punti A e B
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Le condizioni di continuità di u e di per x = O danno
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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Ognuna di queste funzioni è della stessa forma dalla u trovata nel problema unidimensionale (§ 35, form. 149): come si è visto in quel caso, possiamo
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o per : poichè si richiede invece che la u sia dovunque finita, ne concludiamo che , cosicchè nella espressione di X gli esponenti divengono
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forza, ed il potenziale U risulterà funzione della sola r.
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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cioè una costante: la u dunque in tal caso dipende solo da r (simmetria sferica).
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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potenziale U si aggiunge quella derivante dal secondo termine della (253), la quale trova il suo analogo nella forza centrifuga della meccanica
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Sostituendovi la u(K) ricavata da (275'), si ottiene l'equazione caratteristica del K-esimo polinomio di Laguerre:
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(dove denota, come faremo sistematicamente, la derivata K-esima di u), si ha, con una prima derivazione della (276),
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caso in cui questo è della forma , si riduce a , si ottiene per la u la seguente equazione differenziale:
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(preso in valore assoluto) della particella al suo passaggio nel punto x: dove U>E la p risulta immaginaria, e questo indica, secondo la meccanica classica
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Si osservi anzitutto che per , U tende a e quindi p a : ne segue che l'esponente del primo termine tende a e perciò, affinchè la u per tenda a zero
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Per collegare tra loro queste due espressioni bisogna trovare un'espressione approssimata di u valida nella zona di confine — cioè in vicinanza del
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Passando a considerare la regione III si riconosce, in modo analogo al precedente, che affinchè la u si annulli per , nella regione III deve mancare
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cartesiana, rappresenti un angolo che può variare da 0 a (p. es., la nelle coordinate polari piane): in tal caso la U (e quindi la p) è una funzione periodica
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quella potenziale è . Per calcolare l'energia totale E=T + U conviene (poichè essa è costante) riferirsi ad un istante particolare del moto, scelto
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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caso il potenziale U, espresso in coordinate polari, deve risultare indipendente da , e quindi l'hamiltoniano non contiene ed è perciò permutabile con
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Si ricordi inoltre che il potenziale U da noi usato è uguale a eV.
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di cui la parte di origine elettrica deriva da un potenziale U (posto grad U) mentre la parte magnetica non ammette potenziale. Si osservi che le
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derivano da un potenziale u(q), sarà (ricordando che
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Operando la sostituzione (S),(S') e applicando l' operatore ottenuto alla (indicando inoltre con U, come d'uso, l'energia potenziale ), si ha la
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e la matrice delle quattro u soddisfa (come anche, in questo caso, la ) all'equazione ottenuta dalla (271) sostituendovi con .
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sempre una soluzione della forma , con la u reale (v. pag. 173): si ottiene allora
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Applichiamo ora i risultati del § precedente al caso di un sistema idrogenoide, cioè specializziamo la funzione U prendendo
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L'equazione di Dirac ammette (come si è visto al § 54 per il caso particolare di onde piane e U = 0) accanto ad ogni soluzione rappresentante uno
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cinetica ordinaria o «forza viva» T: si ha . L' energia totale sarà poi indicata, al solito, con W. Nel caso del § 54 si era assunto U = 0 e perciò .
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Carica: e = [numero eliminato] u. e. s. = [numero eliminato] u. e. m.
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La legge di ripartizione delle velocità di Maxwell: in un gas alla temperatura T il numero di molecole, per le quali le componenti u, v, w della
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Accademia della crusca
