eccentrica u, abbiamo
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Infine non sarà inutile rilevare esplicitamente che il prodotto scalare u x v di un qualsiasi vettore v per un vettore unitario u rappresenta in
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. Giova tener presente che v 1 Λ v 2 (ove non sia zero) è sempre ortogonale a ciascuno dei vettori v 1 e v 2 . Se in particolare u è un vettore
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Infatti, in tale ipotesi, poniamo u = vers v e consideriamo anzitutto i tre prodotti
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Un generico vettore fisso u è caratterizzato, nelle notazioni del n. 10, dall’equazione differenziale
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A tale scopo si osservi che se il vettore unitario u si immagina applicato nell’origine O, il suo estremo libero P (di coordinate u x, u v, u z) si
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che del resto si può trarre direttamente dalle (20') stesse con un ovvio artificio (moltiplicandole rispettivamente per u x, u v, u z e sommandole
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23. La circostanza che il vettore u è fisso, e quindi conserva lunghezza invariabile nel tempo, si traduce pel sistema (20') nell'integrale primo
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Di qui si rileva che quando u x, u v, u z sono reali, λ e μ risultano complessi e, più precisamente, è il coniugato di λ.
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È poi facile risolvere le (22) rispetto a λ, μ, beninteso sotto la condizione che le u x, u v, u z siano legate dalla (21) [il che si traduce nelle
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24. Ciò premesso, si sostituiscano nelle (20') alle u x, u v, u z le loro espressioni in termini di λ e μ, date dalle (24'), (24"). Si ottengono così
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si ottiene una equazione lineare in u z che, risolta, dà intanto
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Ove siasi integrata codesta equazione, si ottengono senz’altro, in base alle (24'), (24"), le espressioni in funzione del tempo delle componenti u x
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cui si riduce la (13) del n. 10, nel caso presente della invariabilità di u rispetto agli assi mobili.
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Ciò posto, si risguardino assegnati c, v ed u: l’ipotesi che u figuri fra i dati della questione apparendo in particolare giustificata, quando O può
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Determinare l’angolo di aberrazione χ fra il raggio assoluto e il raggio relativo, cioè fra c u e c u - v. Mostrare in particolare che, per v molto
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riferimento (l'etere dell’ottica classica). Sia P un punto mobile con velocità costante v, rispetto allo stesso riferimento. Si indichi con u il versore P - O
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designi con u il vettore unitario ortogonale e destrorso rispetto alle due rette orientate IT, IN, si potrà rappresentare con ωλ u denota uno scalare
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Di qui si conclude (Cap. III; n. 29) che il sistema di vettori paralleli ωu, ωl u, applicati rispettivamente in I e in C l è equivalente all’unico
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Alcuni autori designano la funzione U esclusivamente con quest’ultimo nome e chiamano potenziale la - U.
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Siffatti campi di forza, diconsi conservativi; e la funzione U (x, y, z) che noi supporremo uniforme, finita, continua e derivabile, almeno fino al
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Notiamo subito che, se vi è una funzione U soddisfacente alla (11), vi soddisfano anche tutte le funzioni U + c, dove c designa una costante additiva
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donde, dividendo per ds, l'eguaglianza annunciata, perché il rapporto dei due differenziali d U e ds è precisamente la derivata di U secondo la
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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U = (x, y, z) = U = (x 0, y 0, z 0).
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U = cost.,
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28. In un campo di forza conservativo di potenziale -U, diconsi superficie equipotenziali le ∞1 superficie
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U(ρ) = cost.
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(7) L P 1 P 2 = U (x 2, y 2, z 2) - U (x 1, y 1, z 1),
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L P 0 P = U (x, y, z),
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F x dP = U (x + dx, y + dy, z + dz) - U (x, y, z).
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talché si conclude che la F è veramente conservativa ed ammette il potenziale U.
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(11") T – U = E,
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U M - U M' > 0,
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c) Punto libero sollecitato da forze conservative quali si vogliono. Sia U (x, y, z) il relativo potenziale ; M una posizione di equilibrio; M' un
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Questo val quanto dire che il potenziale U deve ammettere un massimo nella posizione M. Si vede subito che, reciprocamente, se U ha in M un effettivo
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della forza. L’equilibrio è poi stabile, in virtù della stessa disuguaglianza U M - U M' > 0, che caratterizza il massimo.
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e derivando materialmente U, rispetto ai vari argomenti, si ha
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onde, si ricava subito per il potenziale U l’equazione
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(2') Δ2 U = 0
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U = U 1 + U 2,
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onde basta determinare U 1 e U 2. Ora conosciamo già (n. 21) il valore (costante) di U 1 in tutti i punti interni alla sfera di raggio ρ (che
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chiamando U* il termine complementare con che
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Avremo raggiunto il nostro intento se mostreremo che, nelle derivate di U* rapporto ad x, y, z, rimane (come in U*) un fattore ε3 (moltiplicato per
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Nel caso attuale, la natura della questione suggerisce ovviamente i termini di confronto; essi sarebbero: per U* il valore esatto U del potenziale
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(37) T + U = cost.,
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La funzione U, determinata a meno di una costante additiva arbitraria, dicesi, come nel caso di un' unica forza conservativa, po tenziale della
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talché, immaginando la U espressa, per mezzo delle (8), in funzione delle q h e identificando i coefficienti delle d q h , si conclude
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Le U j sono in tal caso forme lineari omogenee nelle componenti d x, dy, d z di un generico spostamento virtuale di P. Supposto che si tratti un
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Se la condizione U 1 ≤ 0 proviene da un vincolo posizionale
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Accademia della crusca
