Sostanzialmente simili alle forze che tengono insieme gli atomi di una molecola, sono le forze che li raggruppano per formare i corpi solidi. Tra
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Nel caso di coefficienti reali, queste non sono altro che le relazioni caratteristiche che intercedono, in geometria analitica, tra i coefficienti
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che sono gli autovalori cercati.
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Gli autovalori sono dunque
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Sono questi dunque i livelli energetici dell'oscillatore.
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Queste funzioni si chiamano «funzioni associate di Legendre» esse sono, naturalmente, ortogonali nell'intervallo (— l, + 1), ma non sono normalizzate
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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dove le sono altre f costanti arbitrarie.
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dove sono tre numeri interi, non negativi.
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(dove R e sono due funzioni di cui qui non interessa l'espressione: basta ritenere che sono reali e sono normalizzate secondo le formule (244) e (252
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dove con e si sono indicati i coefficienti
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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esprimenti che le sono ortogonali e normalizzate.
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Dimostriamo ora che, se e sono o. l. hermitiani, sono tali anche i due o. l.
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Si osservi che se l'operatore è hermitiano tale è anche la matrice, il che per una matrice diagonale significa che i suoi elementi sono reali. Dunque
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dell'impulso , sono osservabili incompatibili: difatti i loro operatori sono rispettivamente, come si è visto,
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Invece una e una sono evidentemente permutabili, cioè
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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Così sono completamente determinate le matrici e .
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le quali sono lineari e omogenee in e . Poichè queste non sono entrambe nulle, dovrà essere
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Tenendo presente che le matrici sono permutabili con i simboli di derivazione, ma non sono da ritenersi, in generale, permutabili tra loro, otteniamo
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da cui si vede che le sono ordinariamente piccole rispetto alle (ossia, sono piccole rispetto a ). Sostituendo nella (277) questa espressione di si
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Si noti anzitutto che queste matrici sono hermitiane, e quindi le osservabili che rappresentano sono reali (1)La particolare scelta adottata per le
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dove i coefficienti sono vincolati dalle relazioni
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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dove e ua sono funzioni delle coordinate, ma non di t, ed E, e Ea sono dati da (378) e (378'). Sostituendo in (382), e ponendo
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e le sue radici sono:
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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Ciò non significa che i termini dell'ortoelio siano tutti tripli, ma che essi sono tripli ad eccezione dei termini S che sono sempre semplici (si
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Questi risultati sperimentali sono in eccellente accordo con la teoria esposta nei §§ precedenti: gli atomi del parelio sono quelli a spin
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Inoltre se, rispetto ad una data terna di assi, sono X, Y, Z le componenti di v, quelle di a v sono a X, a Y, a Z.
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Se i due vettori v 1, v 2 non sono fra loro ortogonali e sono entrambi diversi da zero, v 1 x v 2 è positivo o negativo, secondo che l'angolo dei due
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dove le α, β, γ, αi, βi, γi sono funzioni date del tempo, di cui le prime tre non sono soggette ad alcuna condizione, mentre le altre nove debbono
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Esse sono pertanto
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Il caso in cui ω ed ω' sieno entrambe costanti (e inoltre diseguali, se le rotazioni sono concordi) si esaurisce immediatamente. Per quanto precede
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Un pianeta dicesi interno od esterno (rispetto alla Terra) secondoché la sua traiettoria è interna od esterna a quella della Terra. Sono interni
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Consideriamo in secondo luogo il caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane sovrabbondanti. Se le (2), sono ancora le espressioni
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che sono in ogni caso contradditorie.
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Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, come accade pei sistemi rigidi, le configurazioni del sistema sono, nel loro complesso, le stesse in tutti
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sono le sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24, le linee di forza sono le rette della stella di centro O.
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Diremo che tre enti fisici sono dimensionalmente indipendenti se sono indipendenti nel senso stabilito or ora i loro tre coefficienti di riduzione.
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È senz’altro manifesto che, se due vettori sono eguali, tali sono altresì le loro proiezioni su di una qualsiasi direzione (o giacitura).
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d) Prisma e cilindro. Consideriamo quante si vogliano sezioni parallele alla base; esse sono tutte eguali. I rispettivi centri di gravità sono punti
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sono tutte zero: le prime tre, perché l'origine cade nel centro di gravità, le seconde tre (n. prec.), perché gli assi coordinati sono gli assi
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I semiassi di tale sezione ellittica sono pertanto
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I corrispondenti raggi di girazione sono
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Designamo a tale scopo con ξ0, η0, ζ0 le coordinate del baricentro Q 0 , rispetto ad Oxyz, le quali sono manifestamente indipendenti dal punto
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a) I solidi sono assolutamente indeformabili.
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Ora le forze effettivamente applicate sono:
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Accademia della crusca
