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formula  si  può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre
formula si può trasformare, poichè dalla (114)  si  ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante,  si  ha
v  si  suppone noto, la vx resta determinata con la stessa
la vx resta determinata con la stessa esattezza con cui  si  ha la dalla (106), la quale esattezza dipende dalla
(106), la quale esattezza dipende dalla precisione con cui  si  misura v': si ha cioè:
esattezza dipende dalla precisione con cui si misura v':  si  ha cioè:
 Si  verifica immediatamente che l'insieme dei due primi termini
primi termini è la derivata esatta di P (), cosicchè, se  si  moltiplica tutta l'equazione per dx e si integra fra a e b,
P (), cosicchè, se si moltiplica tutta l'equazione per dx e  si  integra fra a e b, si ha
moltiplica tutta l'equazione per dx e si integra fra a e b,  si  ha
similmente per : inoltre  si  ricordi la seconda delle (182) e si tenga conto della
per : inoltre si ricordi la seconda delle (182) e  si  tenga conto della (202); si ottiene allora
la seconda delle (182) e si tenga conto della (202);  si  ottiene allora
operatore dunque  si  può considerare come l'operatore hamiltoniano della teoria
come l'operatore hamiltoniano della teoria di Dirac.  Si  noti che dalla (273) si ricaverebbe, con lo stesso
hamiltoniano della teoria di Dirac. Si noti che dalla (273)  si  ricaverebbe, con lo stesso procedimento usato al § 28, la
la formula (118) per la derivata di un'osservabile: questa  si  può dunque ritenere valida anche nella teoria di Dirac,
ritenere valida anche nella teoria di Dirac, purchè per  si  intenda l'operatore (274).
 si  conclude che, se si pone
si conclude che, se  si  pone
 Si  osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa si
osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa  si  identifica con l'equazione (281) dei polinomi generalizzati
(281) dei polinomi generalizzati di Laguerre, purchè  si  prenda
questa sommatoria doppia, i sei termini in cui  si  possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino
in cui si possono riunire due a due nel modo seguente.  Si  considerino p. es. i due termini : in virtù delle (236)
p. es. i due termini : in virtù delle (236) essi  si  possono scrivere . D'altra parte, dalle (270) si ricava
(236) essi si possono scrivere . D'altra parte, dalle (270)  si  ricava subito che
che,  si  noti, τn risulta positivo), si ottiene
che, si noti, τn risulta positivo),  si  ottiene
punti, che così  si  corrispondono, si chiamano coniugati.
punti, che così si corrispondono,  si  chiamano coniugati.
essendo costante,  si  trova immediatamente 2r2sinα. Se si osserva che 2rsinα è la
essendo costante, si trova immediatamente 2r2sinα. Se  si  osserva che 2rsinα è la lunghezza della corda AB, si ha da
Se si osserva che 2rsinα è la lunghezza della corda AB,  si  ha da ultimo l’equazione
 si  conclude v r = cost.; e poiché per ipotesi v r si annulla
si conclude v r = cost.; e poiché per ipotesi v r  si  annulla nell’istante t 0 si manterrà costantemente eguale a
cost.; e poiché per ipotesi v r si annulla nell’istante t 0  si  manterrà costantemente eguale a zero.
discussione dell'equazione (183')  si  può fare nel modo seguente. Si osservi anzitutto che i suoi
dell'equazione (183') si può fare nel modo seguente.  Si  osservi anzitutto che i suoi coefficienti sono finiti per
i valori finiti di , quindi eventuali singolarità della u  si  possono presentare solo per : col criterio del § 16 si
u si possono presentare solo per : col criterio del § 16  si  riconosce che effettivamente l'equazione ha all'infinito
comportamento asintotico delle soluzioni in questi punti  si  può avere col seguente metodo euristico: si tenti di
in questi punti si può avere col seguente metodo euristico:  si  tenti di soddisfare l'equazione ponendo : si troverà che,
euristico: si tenti di soddisfare l'equazione ponendo :  si  troverà che, se si trascurano i termini finiti rispetto a
di soddisfare l'equazione ponendo : si troverà che, se  si  trascurano i termini finiti rispetto a quelli in ,
è poi certo soddisfatta se uno dei coefficienti, p. es.,  si  annulla (senza che si annulli il precedente), poichè allora
se uno dei coefficienti, p. es., si annulla (senza che  si  annulli il precedente), poichè allora si annullano anche
annulla (senza che si annulli il precedente), poichè allora  si  annullano anche tutti i successivi e la serie P si riduce
allora si annullano anche tutti i successivi e la serie P  si  riduce ad un polinomio di grado : la condizione perchè
di grado : la condizione perchè (essendo ) è, come  si  vede dalla (235), che sia
precisamente, se  si  scrive per brevità y' al posto di e si nota che il ds può
precisamente, se si scrive per brevità y' al posto di e  si  nota che il ds può essere sostituito con si ottiene,
al posto di e si nota che il ds può essere sostituito con  si  ottiene, moltiplicando da ultimo per dx,
 Si  suppone che, nell’istante considerato, non si annulli
suppone che, nell’istante considerato, non  si  annulli
 si  determina di nuovo la distribuzione: e così via, finchè si
si determina di nuovo la distribuzione: e così via, finchè  si  trova una tensione, per la quale si presenta un massimo in
e così via, finchè si trova una tensione, per la quale  si  presenta un massimo in una determinata direzione, ossia al
determinata direzione, ossia al fenomeno della diffusione  si  sovrappone quello della diffrazione. La (31) permette
diffrazione. La (31) permette allora di conoscere λ: così  si  ha la lunghezza d'onda corrispondente ad una data tensione
e quindi ad una data velocità. Noto λ, mediante la (29)  si  può poi calcolare l'indice di rifrazione μ corrispondente a
 si  considera poi che i e psono normali al piano dell'orbita, e
che i e psono normali al piano dell'orbita, e diretti (come  si  vede facilmente) in senso opposto, si può anche scrivere la
e diretti (come si vede facilmente) in senso opposto,  si  può anche scrivere la relazione vettoriale
(18)  si  vede subito perchè le frequenze emesse dall'atomo si
(18) si vede subito perchè le frequenze emesse dall'atomo  si  presentino come differenze di «termini spettrali», ed in
come differenze di «termini spettrali», ed in pari tempo  si  riconosce il significato fisico di questi: ciascuno di essi
e quindi ad un diverso stato quantico. E precisamente, se  si  divide la (18) per c, per passare dalle v alle v^, e si
se si divide la (18) per c, per passare dalle v alle v^, e  si  pone
 si  chiama matrice unità e si indica con 1 }.
si chiama matrice unità e  si  indica con 1 }.
 si  badi che, per la (190), la (205') si scrive:
si badi che, per la (190), la (205')  si  scrive:
 si  trova così il risultato (175). Per si ricava invece
si trova così il risultato (175). Per  si  ricava invece
Se  si  nota che è una costante, e si pone
Se si nota che è una costante, e  si  pone
se  si  moltiplicano i due membri della (31) per (dove r è uno
(31) per (dove r è uno qualunque degli indici 1, 2,...) e  si  integrano fra r e b, al secondo membro si annullano, in
1, 2,...) e si integrano fra r e b, al secondo membro  si  annullano, in virtù dell'ortogonalità delle y, tutti i
y, tutti i termini tranne quello per cui n=r, il quale  si  riduce a fr: cambiando poi l'indice r in n si ha la (32).
n=r, il quale si riduce a fr: cambiando poi l'indice r in n  si  ha la (32).
Il limite  si  riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe
l'intervallo sia infinito da entrambe le parti: altrimenti  si  legga solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo eliminato] ,
solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo eliminato] , e  si  sostituisca, per l'altro estremo, l'ordinaria condizione y
l'ordinaria condizione y = O. Le integrazioni rispetto a x  si  intendono fatte su tutto l'intervallo.
fattore  si  determina con la condizione di normalizzazione (252): si
si determina con la condizione di normalizzazione (252):  si  trova
 Si  verifica poi immediatamente il teorema di ortogonalità
poi immediatamente il teorema di ortogonalità poichè, per ,  si  ha
 Si  manda nella direzione dell'asse x della luce di frequenza
nella direzione dell'asse x della luce di frequenza nota v:  si  raccoglie poi in uno spettroscopio la radiazione diffusa
diffusa dalla particella nel verso negativo dell'asse x, e  si  determina la sua frequenza v': si ha allora da un
negativo dell'asse x, e si determina la sua frequenza v':  si  ha allora da un ragionamento elementare di ottica:
la teoria di Dirac, mostriamo a quale equazione per la  si  giungerebbe se, applicando il principio del § 22, si
per la si giungerebbe se, applicando il principio del § 22,  si  partisse dall'espressione relativistica dell'hamiltoniana
dell'hamiltoniana (anzichè dall'espressione classica come  si  è fatto al § 19) e la si trasformasse in operatore mediante
dall'espressione classica come si è fatto al § 19) e la  si  trasformasse in operatore mediante la solita sostituzione
in particolare, la poligonale  si  rinchiude, cioè se A n coincide con O, si ha l’identità,
la poligonale si rinchiude, cioè se A n coincide con O,  si  ha l’identità, valida per n punti A 1 A 2,…, A'n quali si
si ha l’identità, valida per n punti A 1 A 2,…, A'n quali  si  vogliano,
il massimo  si  sposta con la velocità , come già si sapeva): inoltre, la
il massimo si sposta con la velocità , come già  si  sapeva): inoltre, la precisione non è più ma data dalla
non è più ma data dalla (172), che, per la (163'),  si  può anche scrivere
ove  si  designi con v la velocità del moto (2) e si tenga conto
ove si designi con v la velocità del moto (2) e  si  tenga conto della espressione dP = v dt dello spostamento
della espressione dP = v dt dello spostamento elementare,  si  può esprimere nella forma
generalizzati di Laguerre. - Se  si  deriva l'equazione (277), si ottiene
di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277),  si  ottiene
 Si  dimostri che, dati sopra una retta quanti si vogliono moti
Si dimostri che, dati sopra una retta quanti  si  vogliono moti armonici
poichè, come  si  è visto, una delle si identifica con l'energia E del
poichè, come si è visto, una delle  si  identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare
visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema,  si  può riguardare questa come una funzione delle f costanti J,
come una funzione delle f costanti J, e quindi delle :  si  conclude che l'energia può assumere solo valori discreti,
 Si  può esservare che la (15) è ancora soddisfatta se si
può esservare che la (15) è ancora soddisfatta se  si  moltiplica la y per una costante complessa di modulo 1
determina completamente l'autofunzione. Tuttavia per lo più  si  prescinde da questa ulteriore arbitrarietà che si presenta
lo più si prescinde da questa ulteriore arbitrarietà che  si  presenta nel campo complesso.
nelle (334) e procedendo come poc'anzi,  si  trova che, se si prende
nelle (334) e procedendo come poc'anzi, si trova che, se  si  prende
componenti sugli assi mobili del vettore ω, di cui  si  vedrà fra poco l’importante significato cinematico, si
cui si vedrà fra poco l’importante significato cinematico,  si  sogliono designare con p, q, r; cioè si suoi porre, tenuto
cinematico, si sogliono designare con p, q, r; cioè  si  suoi porre, tenuto conto della (23),
 si  verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si
si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione  si  può scrivere
poi presente che ognuna delle funzioni ,  si  scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno
delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori ,  si  vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde nel
fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287)  si  scinde nel prodotto di tre integrali semplici:
la radiazione elettromagnetica, che  si  propaga verticalmente verso l’alto, subirà una riflessione
tanto elevata da rendere eguale a 0 l’indice di rifrazione.  Si  riconosce, dalla formula (I), che si verificherà quando si
di rifrazione. Si riconosce, dalla formula (I), che  si  verificherà quando si abbia:
Si riconosce, dalla formula (I), che si verificherà quando  si  abbia:
 Si  noti che, se si tratta di azioni tangenziali, dirette nel
noti che, se  si  tratta di azioni tangenziali, dirette nel senso in cui si
si tratta di azioni tangenziali, dirette nel senso in cui  si  contano gli archi, - F t d s risulta positiva, e la T va
positiva, e la T va per conseguenza crescendo da A a B.  Si  ha allora (senza ambiguità rispetto al segno) ΔT = T B - T
quale, ove  si  tenga conto della (6) del n. 4, si può scrivere
quale, ove si tenga conto della (6) del n. 4,  si  può scrivere
ove il piano di simmetria  si  prenda per piano z = 0, si ha
ove il piano di simmetria si prenda per piano z = 0,  si  ha
del resto  si  può trarre direttamente dalle (20') stesse con un ovvio
sommandole membro a membro); e la costante a secondo membro  si  riduce ad l, se il vettore fisso di cui si tratta si
a secondo membro si riduce ad l, se il vettore fisso di cui  si  tratta si suppone unitario.
membro si riduce ad l, se il vettore fisso di cui si tratta  si  suppone unitario.
 si  vede, si ottengono per Y due espressioni (che indicheremo
si vede,  si  ottengono per Y due espressioni (che indicheremo con ed ) a
(che indicheremo con ed ) a seconda che nel primo termine  si  prende : una di esse si ottiene dall'altra cambiando il
) a seconda che nel primo termine si prende : una di esse  si  ottiene dall'altra cambiando il segno a tutti i termini
da parte i sistemi a legami unilaterali (il che  si  fa abbastanza spesso anche senza esplicita menzione), non
fa abbastanza spesso anche senza esplicita menzione), non  si  hanno a considerare che spostamenti reversibili e il
reversibili e il principio dei lavori virtuali richiede che  si  annulli il lavoro delle reazioni per ogni spostamento
per ogni spostamento conciliabile coi legami, e perciò  si  traduce nell’equazione
, che rappresenta l'effetto della perturbazione su ,  si  potrà poi sviluppare in serie mediante le autofunzioni
mediante le autofunzioni imperturbate (che formano, come  si  sa, un sistema ortogonale completo) e quindi si scriverà
come si sa, un sistema ortogonale completo) e quindi  si  scriverà
 si  tratta invece di tempo medio Solare, come si usa
si tratta invece di tempo medio Solare, come  si  usa solitamente, la durata del moto di rotazione diurna si
si usa solitamente, la durata del moto di rotazione diurna  si  trova espressa dal numero un po’ più piccolo 86164,
funzione Δy/Δω tende a O, come  si  vede, per (il che si può interpretare dicendo che le
funzione Δy/Δω tende a O, come si vede, per (il che  si  può interpretare dicendo che le infinite funzioni
funzioni sinusoidali, che in essa sono sovrapposte,  si  elidono all'infinito per mutua interferenza).

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