Difatti, una prima coppia di autofunzioni ortogonali può essere costituita dalla Y1 stessa e da una opportuna combinazione lineare : basterà
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(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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coefficienti della serie : la prima delle condizioni così ottenute serve a determinare ed è, come si trova facilmente,
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che è la prima delle (94').
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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Osserviamo poi che, perchè la u si conservi finita anche per , dovrà essere : tenuto conto di ciò, le (175) danno, come prima,
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viene respinta indietro prima di giungere in C'.
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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La prima di queste dà
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è utile rilevare che la costante così definita è uguale al raggio della prima delle orbite circolari fornite dalla teoria di Bohr ( [numero eliminato
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(i coefficienti della seconda sommatoria sono i coniugati di quelli della prima, cosicchè la y risulta reale): si verifica facilmente che le serie
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(dove denota, come faremo sistematicamente, la derivata K-esima di u), si ha, con una prima derivazione della (276),
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Chiamasi prodotto dell'o. l. per l'o. l. , e si indica con , l'operatore esprimente l'operazione di applicare prima l'operazione e poi, sulla
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Ovvero, ricordando la (4) e scrivendo, per evitare equivoci, prima il fattore con l'asterisco
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Osservando che la prima delle differenze in parentesi è la derivata della seconda, e calcolando per parti il primo integrale si ha (se la f si
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si identifica con la prima, cioè è verificata la (49).
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e moltiplicando scalarmente la prima per , a destra, la seconda per a sinistra e sottraendo membro a membro, si ha
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Applicando alla prima l'o. l. , alla seconda , si ottiene rispettivamente
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ma, essendo la prima sommatoria si riduce al solo termine in cui r = k, cosicchè l'equazione diviene
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Si noti che per calcolare (in prima approssimazione) gli autovalori perturbati non è stato necessario conoscere le autofunzioni perturbate : molte
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. Tralasciamo di scrivere queste formule che raramente trovano applicazione, essendo per lo più sufficienti la prima o la seconda approssimazione per
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Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
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Poichè le L sono, al pari delle a, piccole del primo ordine, la seconda sommatoria sarà, in prima approssimazione, trascurabile, e resterà
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Così, dalla risoluzione dell'equazione secolare (186), si hanno, in prima approssimazione, le perturbazioni degli autovalori del multipletto.
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Nello sviluppare questa espressione si osservi che, per la (190) e la prima delle (182),
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Per ricavare le , e la seconda approssimazione delle operiamo ora analogamente, moltiplicando la (203) per e integrando: osserviamo però prima che
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ovvero, in prima approssimazione, utilizzando la (206)
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Per completare la conoscenza in prima approssimazione delle autofunzioni perturbate, mancano solo i coefficienti , che si determinano (come nel
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, trascurando il prodotto del secondo ordine , e sostituendo perciò con la sua prima approssimazione ,
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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(dove l'apice indica che si tratta di prima approssimazione). Integrando tra 0 e t si hanno i valori di prima approssimazione delle
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che, sostituiti nella (221), ci danno lo stato perturbato in prima approssimazione.
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successive; noi però ci limiteremo alla prima.
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Sostituendo nei primi due termini per l'espressione ricavata dalla prima delle (235), e ricordando le (234), si riconosce che tutto il primo membro è
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essendo però il primo membro irrazionale nelle pk, conviene, prima di applicare la sostituzione (S), (S'), renderlo razionale isolando il radicale ed
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Tenendo conto dell'ultima di queste, si vede che nelle prime due delle equazioni (272) si elimina il termine della prima parentesi, mentre nelle
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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da cui, moltiplicando la prima per A e la seconda per B e sommando,
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energia cinetica, in funzione dell'impulso p, è espressa in prima approssimazione da
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In prima approssimazione, la perturbazione del valore dell'energia si trova, come si è visto al § 39, risolvendo l'equazione
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Passiamo ora alla prima approssimazione, tenendo conto dell'azione reciproca tra le due particelle, che introdurremo come perturbazione, seguendo i
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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Come si vede, la prima di queste autofunzioni è simmetrica, la seconda antisimmetrica: ciò era prevedibile per quanto è stato detto al § 62. Nel caso
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In molti casi, in un sistema con due elettroni le forze dovute agli spin sono trascurabili in prima approssimazione. Formalmente, ciò significa che
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Ora formiamo con le autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica la seconda:
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Ogni atomo ha evidentemente una serie di energie di eccitazione la prima delle quali è quella chiamata «di risonanza»; esse si addensano verso un
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L'esistenza di urti di seconda specie è dunque una conseguenza termodinamica della esistenza, constatata sperimentalmente, degli urti di prima specie.
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Sostituendo nella (26), e ponendovi per v il valore ricavato da (40) si ha (trascurando potenze di superiori alla prima)
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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Accademia della crusca
