Si verifica poi immediatamente il teorema di ortogonalità poichè, per , si ha
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(1) Poichè supponiamo di osservare solo le onde «progressive», consideriamo solo i valori positivi di k.
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e poichè si ha (prescindendo dal segno) , la precedente dà
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e poichè per la condizione di quantizzazione
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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Come si vede, poichè e hanno lo stesso modulo, le onde riflesse hanno uguale ampiezza di quelle incidenti, si ha cioè
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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, poichè
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per C va posto : inoltre si può osservare che il primo termine si può scrivere (come è ben noto) in un'altra forma, poichè
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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e poichè l'ultimo integrale vale , risulta
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e poichè il semiasse maggiore è evidentemente dato da , sarà
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e poichè, per le citate condizioni di normalizzazione, i due integrali valgono 1, si ritrova, ricordando la (345), il risultato (346).
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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L'operatore a secondo membro ha, un'interpretazione assai notevole: esso, muta f(x) in f(x ), poichè, per la formula di Taylor,
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e poichè, per la (5') , la (52) si può scrivere
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Poichè le formano un sistema completo, qualunque funzione f si può sviluppare in serie delle , e quindi per qualunque f varrà
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e poichè questo deve valere per qualunque deve essere
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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poichè la (185) si può scrivere (cambiando l'indice k in l)
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ovvero, poichè nell'ultimo termine si può sostituire con commettendo un errore del secondo ordine,
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le quali sono lineari e omogenee in e . Poichè queste non sono entrambe nulle, dovrà essere
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e poichè dalla (319) si ricava
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poichè con questa sostituzione essa si riduce alla (300) come si verifica immediatamente. A questa corrisponde, a norma della (303),
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Quindi le soluzioni F+ e G+ delle (346) avranno per espressione asintotica poichè si cercano soluzioni tendenti
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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poichè l'angolo di incidenza nella superficie è, come si vede dalla figura, 2φ.
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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Poiché dalle (18) del n. prec. risulta
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ed anzi, poiché, per la convenzione stabilita, dA e dΘ hanno lo stesso segno, si conclude senz’altro
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Poiché i coseni direttori di codeste due direzioni orientate sono rispettivamente
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e, poiché si ha identicamente
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Poiché, come al n. 11, sussiste la identità
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Ma, poiché v è ortogonale a v 1 ', v 2', si ha per la prima parte della dimostrazione
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e poiché i secondi membri sono funzioni note di t, la determinazione di α, β, γ richiede soltanto quadrature.
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Poiché pel teorema geometrico del Savary codesta retta deve essere perpendicolare alla IM, il cui coefficiente angolare è tgα, avremo
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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Questa, velocità v, poiché la frazione è propria, si mantiene minore, in valore assoluto, di
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Ma, poiché è verificata la (2), si possono sempre determinare α, β, γ dal sistema lineare
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Poiché
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Poiché r è una forza e quindi [r] = l t - 2 m si avrà, applicando il procedimento che conduce in generale alla (5),
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Per una potenza, poiché n 1 = 2, n 2 = -3, n3 = 1, si avrà
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Poiché, per una evidente similitudine di triangoli, si ha
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Poiché nella somma a secondo membro compaiono tutti i punti del dato sistema, si conclude, in base alla (8),
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e poiché (componente di P i - O secondo r) vale x iα+ y iβ + z iγ, avremo
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equazione equivalente (poiché come limite di quantità tutte positive è per la sua definizione ≥ 0) a
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Poiché qui ogni spostamento virtuale
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Poiché questa equazione si può scrivere esplicitamente sotto la forma
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Accademia della crusca
