Ed analogamente per la sovrapposizione di quanti si vogliano treni d'onde, vale a dire per una radiazione qualunque.
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Per e quindi per
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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Sostituendo nella (318) questa espressione di , e la, (329) per p, si ottiene per l'espressione (dipendente solo da n)
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(1) Talvolta un operatore è definito solo per certe determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per
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Un operatore generico viene indicato con una lettera: noi useremo di regola per questo scopo le lettere gotiche. Per esempio scriveremo F = per
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Analogamente per la differenza di due matrici, e per la somma di quante si vogliono di esse.
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(1) Per semplicità useremo la stessa lettera per indicare una funzione e il vettore corrispondente nello spazio hilbertiano (anzichè usare per
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(purchè, beninteso, non agiscano forze tra loro): infatti, per la (87"), la è univocamente determinata dai suoi valori per in tutto lo spazio, quindi se
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Valgono dunque, in media, le equazioni di HAMILTON. Per esempio, per un punto in coordinate cartesiane, si ha
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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Per evitare equivoci, basta aggiungere alla designazione della «frequenza» quella dell'unità di misura, che per le frequenze propriamente dette v è
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Si può poi facilmente verificare che le espressioni trovate per gli elementi delle matrici e soddisfano le relazioni (156) e (157) (che abbiamo
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Moltiplichiamo ora (a destra) la seconda per e la terza per , e sommiamole: si ha
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e basterà dimostrare questa formula per una S della forma (325), poichè si verifica subito che, se essa vale per due matrici , vale anche per il loro
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da cui, moltiplicando la prima per A e la seconda per B e sommando,
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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(2) Si ammette il principio di Pauli per qualunque sistema contenente più elettroni: p. es. la « statistica di Fermi», valida per un gas di elettroni
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Se l'indice di rifrazione del cristallo per le onde elettroniche fosse 1, la (34) si ridurrebbe alla legge di Bragg, ossia la riflessione regolare si
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Moltiplicando questa per yne la (16) per , e sottraendo, si ha
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non si annulla mai per c 2 = 0 (o per h = 0); e se c 2 ≠ 0 ed h ≠ 0 si annulla soltanto per
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e basta moltiplicare per v ambo i membri per ottenere la identità (19).
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presi la prima volta per righe, la seconda per colonne.
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Con tale avvertenza, possiamo dividere la prima equazione per r l (r + δ) e la seconda per ρλ (ρ + δ). Posto, per brevità di scrittura,
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Per fissare la posizione del telaio sono necessari 4 parametri: 2 per fissare la posizione di un punto della traccia sul piano stradale, 1 per
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Ma in taluni casi, sopratutto se le primitive hanno anche per S' un significato geometrico espressivo, convien conservare per il nuovo sistema S
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Dati due sistemi di vettori applicati, per verificare se essi siano equivalenti, si può, per es. ridurli all’origine delle coordinate. In formule, le
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onde per due forze F 1, F agenti per un medesimo tempo t,risulta effettivamente
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Per una forza viva T (semiprodotto di una massa per il quadrato di una
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cioè le F moltiplicate per φ, le l per λ, e le m per μ. Di qua risulta, attesa la relazione generale φ = λτ-2μ, la (22) e il fatto che i tempi
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gradi n 2, n 2, n 3, rispettivamente; cosicché, se tutte le lunghezze da cui q dipende vengono moltiplicate per un generico numero λ, tutti i tempi per
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e se, per precisare le condizioni di corrispondenza nella similitudine, ricorriamo alla velocità, che è il carattere cinematico più facilmente
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Tra le superficie passanti per c, fissiamone una, avente n per normale, e osserviamo che, se sono soddisfatte le condizioni di equilibrio per P, in
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Per un parallelepipedo, i piani mediani di ogni coppia di facce parallele sono manifestamente diametrali (coniugati alla direzione dei quattro
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Per ciascun vertice, per es. per A, passano tre piani mediani. Essi intersecano la faccia opposta BCD nelle tre mediane, quindi contengono tutti il
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Prendiamo per asse delle z l’asse r0 parallelo ad r, passante per il baricentro G. La retta r avrà per equazioni:
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È manifesto che, se il vettore v (pur variando) si conserva costantemente parallelo ad una retta, oppure ad un piano, lo stesso segue per Δv, e
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1° che il rapporto tende a zero, tanto per un cilindro molto tozzo, quanto per un cilindro molto allungato (cioè per α convergente a zero, ovvero all’∞);
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11. Si consideri un emisfero (solido) omogeneo e un punto P del suo equatore. L’attrazione dell’emisfero in P è contenuta per ragione di simmetria
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Per provarlo, consideriamo dapprima il caso di tre soli punti di appoggio P 1, P 2, P 3 e, per fissare le idee, supponiamoli non allineati, per
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Per ricavare R 1 basta moltiplicarle ordinatamente per 1, k, k 1, k 2, k 3 e sommare.
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Ciò posto, basta eliminare dalle (16') per mezzo di quest’ultima equazione per renderle atte a definire le
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e questa equazione combinata per sottrazione e per somma con la (29), dà
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ossia, dividendo per ds e passando poi al limite per ds → 0,
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Vogliamo far vedere come questo postulato, anteriormente introdotto di per sé solo, per manifesta ragione di opportunità (cioè per discutere con
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Si richiede dunque per l’equilibrio che i legami consentano al baricentro solo spostamenti per cui risulti δz 0 ≤ 0, o, ciò che è lo stesso, per cui
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19. Dividiamo i due membri della (8) per r, e poniamo, per brevità
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40. Dalle (20') si ha ancora, moltiplicando la prima per sinγ, la seconda per cosγ e sottraendo,
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la moltiplicazione vettoriale del versore fondamentale k, per v equivale alla moltiplicazione di z per i.
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e cioè per esempio una onda di 1000 m. di lunghezza si rifletterà totalmente incontrando uno strato in cui la concentrazione degli elettroni sia di
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