Potremo dunque dire che ad un autovalore doppio corrispondono infinite coppie di autofunzioni normalizzate ed ortogonali tra loro (oltrechè con le
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, possediamo però un mezzo per determinare statisticamente la loro distribuzione, e questo mezzo è costituito dalle leggi dell'ottica ondulatoria.
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e la loro lunghezza d'onda
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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per , cioè che le funzioni sono ortogonali tra loro.
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Un'altra loro proprietà notevole è espressa dalla formula ricorrente che lega tre polinomi successivi:
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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richiede che la somma o la differenza dei loro argomenti sia un multiplo intero di ma poichè la differenza degli argomenti dipende da x, mentre la loro somma
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l'energia dei quanti di luce non va necessariamente pensata come energia cinetica di un corpuscolo in movimento (ed infatti la loro velocità nel vuoto è
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(1) Ci riferiamo per semplicità alle orbite circolari, ma il ragionamento si estende subito alle orbite ellittiche, sostituendo a e P con i loro
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Quanto abbiamo detto ora si riferisce solo alle frequenze delle righe spettrali, non alla loro intensità ed al loro stato di polarizzazione, che
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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della loro teoria.
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Dati due o. l. e , chiamasi loro somma, e si indica con + , l'operatore (lineare) definito da (1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui
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combinare tra loro le quantità algebriche, ciò che permette di costruire un'algebra degli o. l. analoga (benchè non identica) all'algebra ordinaria.
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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Si osservi che se e ammettono entrambi un reciproco, anche il loro prodotto lo ammette, ed è (si noti l'inversione dei fattori): difatti
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Si riconosce poi immediatamente che un o. l., funzione di uno o più o. l. , permutabili tra loro, è permutabile con ciascuno di essi.
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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Prendendo il coniugato della seconda sommatoria e scambiando tra loro gli indici m ed n, si riconosce che, in virtù della (46 '), questa sommatoria
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e in particolare, se e sono permutabili, il loro prodotto è hermitiano.
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con i coefficienti c arbitrari. Naturalmente, alle si possono sostituire p loro combinazioni lineari, ortogonali tra loro (ciò si dimostra come al
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e supporremo sempre le normalizzate. Esse rappresentano dunque altrettanti vettori unitari che possiamo anche supporre tutti ortogonali tra loro (1
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corrisponde un valore Ln di L (autovalore) (alcuni degli Ln potendo anche essere uguali tra loro).
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Due osservabili si dicono compatibili se le loro osservazioni sono sempre compatibili, qualunque siano i loro risultati: questo concetto è uno dei
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(1) Si verifica immediatamente che integrando questa P rispetto a tutte le variabili meno , per tutto il loro campo di variabilità, si ottiene
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immediatamente che integrando questa P rispetto a tutte le variabili meno , per tutto il loro campo di variabilità, si ottiene
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loro operatori siano permutabili.
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dell'impulso , sono osservabili incompatibili: difatti i loro operatori sono rispettivamente, come si è visto,
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L'aspetto paradossale di queste equazioni scompare quando si tenga presente che esse si riferiscono non alle grandezze fisiche e ma ai loro operatori
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. § 18) e le sono le autofunzioni comuni a tutti i loro operatori.
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mediante la loro espressione ondulatoria (v. (147)):
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dove le sono coefficienti costanti che nel loro insieme definiscono l'effetto della perturbazione su . Sostituendo questa espressione nella (170) e
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in altre parole, le varie autofunzioni del multipletto si «mescolano» tra loro, senza che ve ne sia una che prevale sulle altre. Se dunque
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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Tenendo presente che le matrici sono permutabili con i simboli di derivazione, ma non sono da ritenersi, in generale, permutabili tra loro, otteniamo
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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e basterà dimostrare questa formula per una S della forma (325), poichè si verifica subito che, se essa vale per due matrici , vale anche per il loro
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che sono pure linearmente indipendenti tra loro e con le altre, e inoltre sono l'una simmetrica e l'altra antisimmetrica; o infine, potrà (2, 1) non
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un sistema fondamentale di autofunzioni ad esso appartenenti, ortogonali tra, loro (v. § 6, p. II). È noto che ad esso si può sostituire un
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elementi tra loro.
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dove si è indicato con l'hamiltoniano relativo alla prima particella, con quello della seconda (trascurando la loro interazione): questi operatori
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differirebbero solo per l'orientazione reciproca degli spin, e quindi la loro differenza di energia sarebbe dovuta solo alle forze reciproche tra i loro momenti
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Se gli elettroni non subiscono urti anelastici, essi si muovono di moto accelerato fino alla griglia, dove raggiungono il massimo della loro velocità
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Le onde riflesse dai vari piani reticolari paralleli alla superficie ss di regola si distruggono tra loro salvo il caso che sia soddisfatta la
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Si dice allora che y1, y2 sono stati assunti come integrali fondamentali: vi è naturalmente larga arbitrarietà nella loro scelta, potendosi ad essi
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servono solo a chiarire il concetto di autovalori e autofunzioni e a rendere plausibile la loro effettiva esistenza. Il problema della loro
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Invece che per mezzo delle coordinate generali e delle loro derivate rispetto al tempo, rappresenteremo lo stato del sistema per mezzo delle 2 f
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Siccome d'altra parte le due funzioni ω1 e ω2 crescono rapidissimamente al crescere dei loro argomenti, si riconosce che la probabilità di
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b) dato un sistema, costituito dall'insieme di molti sistemi elementari eguali tra di loro (atomi, molecole, ...), ricercare il numero di sistemi
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Accademia della crusca
