cioè son fra loro proporzionali l’incremento del quadrato di velocità intensiva e la quota del punto mobile rispetto alla posizione iniziale (l’uno e
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Per esprimere a ρ in funzione di ρ, Θ e delle loro derivate,
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3. I quadrati dei tempi impiegati dai vari pianeti a percorrere le loro orbite (durate delle rivoluzioni) sono proporzionali ai cubi dei semiassi
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16. Due gravi si muovono in uno stesso piano verticale. Se, in un dato istante, le loro velocità sono simmetriche rispetto ad una verticale, lo
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a) Siano dati in un piano due vettori ruotanti aventi eguali frequenze; se i due vettori hanno lo stesso verso, la loro risultante è un vettore
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concludiamo che il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto (algebrico) delle loro componenti secondo la direzione di uno qualsiasi di
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rispetto a due riferimenti mobili fra loro.
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In una prima approssimazione si può supporre che i moti dei pianeti attorno al sole, e dei satelliti attorno al loro pianeta siano circolari uniformi.
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fra loro eguali, cioè sussistono le identità
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Le espressioni risultanti per ξ*, η* forniscono senz’altro la rappresentazione parametrica della evoluta, e il loro confronto colle (7') dà luogo
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ossia, sostituendo a le loro espressioni date dalle (21) stesse,
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In ogni moto rigido piano i punti P equidistanti dal centro A delle accelerazioni hanno le loro accelerazioni egualmente inclinate sulla retta AP e
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e loro spostamenti possibili.
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che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle q h . Il nuovo sistema S' che così si ottiene è ancora olonomo e il suo grado di libertà si
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Se poi il sistema è riferito a coordinate q h sovrabbondanti e le equazioni che legano fra loro codeste q h, sono date dalle
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condotti a cimentare i nostri sforzi muscolari, vogliamo dire ai pesi dei corpi, i quali si manifestano ai nostri sensi, sia nei loro effetti statici
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Relativamente ai sistemi equilibrati giova tener presente che è nullo anche il loro momento rispetto ad una retta qualsiasi (n. 32).
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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Consideriamo dapprima il caso generale, in cui tali due piani sono distinti, e la loro retta d’intersezione r non contiene né P 1, né P 2.
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biunivoca tale che: 1°. Le traiettorie descritte dai varii punti di Σ costituiscano nel loro insieme una figura geometricamente simile a quella costituita
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Piuttosto procediamo oltre nell’ipotesi favorevole, che tutte le forze omologhe agenti su Ω ed ω stiano fra loro nel rapporto λ3 dei pesi; onde
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Per non mutar notazioni, indichiamo con Ω ed ω due piroscafi, simili fra loro geometricamente e materialmente in tutti i loro particolari e quindi
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Diremo che tre enti fisici sono dimensionalmente indipendenti se sono indipendenti nel senso stabilito or ora i loro tre coefficienti di riduzione.
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Esempio. - Si è testé visto che velocità, accelerazione ed energia sono dimensionalmente indipendenti. Potremo dunque esprimere mediante le loro
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È senz’altro manifesto che, se due vettori sono eguali, tali sono altresì le loro proiezioni su di una qualsiasi direzione (o giacitura).
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Se si tien conto della osservazione enunciata in fine al n. 2, si ha che, proiettando gli ∞3 segmenti orientati fra loro equipollenti, che
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altre condizioni, proporzionale al peso del grave; 2°) dipende dalla natura fisica delle superficie a contatto del grave e del suolo, non dalla loro
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Per i sistemi equilibrati formati da tre vettori, si può dimostrare che tali vettori sono necessariamente situati in un medesimo piano; e che le loro
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Risulta dalla (8) Che, se tutte le masse appartengono ad un medesimo piano o ad una medesima retta, lo stesso avviene del loro centro di gravità.
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questi G", cui siano attribuite le masse dei rispettivi strati. Ma questi sono tutti eguali tra loro. I punti G' costituiscono dunque un segmento
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Risulta di qui che il punto C non dipende dalla direzione dei due vettori, ma soltanto dalla posizione dei loro punti d’applicazione e dalle loro
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2.° Il momento d' inerzia rispetto ad un piano π, cioè la somma dei prodotti delle masse dei punti di S per i quadrati delle loro distanze dal piano
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qualsiasi della loro intersezione.
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i tre momenti (principali) relativi alle mediane del rettangolo, e alla perpendicolare comune nel loro punto d’incontro;
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ma m ed R conservano i loro significati, sicché per il momento assiale e per il corrispondente raggio di girazione seguitano a valere le espressioni
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direzione comune dei vettori stessi, ma si conservano le loro origini e le loro lunghezze (oppure, più in generale, i rapporti fra le loro lunghezze).
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danno (in lunghezza col loro valore assoluto, in verso col loro segno) le proiezioni del segmento orientato AB sugli assi orientati x, y, z e perciò
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, ma anche ad ogni sua parte S', per la quale sia possibile riconoscere le forze sollecitanti esterne, anche solo nel loro comportamento complessivo
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Notiamo che, nel caso di un sistema S pesante, l’insieme dei pesi dei singoli punti di S vettorialmente equivalente al loro risultante (peso totale
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attrito, tutte codeste reazioni risultano perpendicolari al piano di appoggio, vale a dire verticali verso l’alto, talché costituiscono nel loro insieme
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Nel loro complesso le (5), (6), come quelle che assicurano l'equilibrio delle singole parti rigide del sistema, danno le condizioni necessarie e
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Riprendendo le notazioni del n. 12, abbiamo nel caso presente due circostanze semplificatrici: ogni p i è eguale a P', e sono pure eguali tra loro e
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Le (16), (17) danno nel loro complesso le volute condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio.
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Il lavoro (loro prodotto scalare) è dunque nullo.
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siano fra loro indipendenti.
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indipendenti, in quanto la matrice ad n linee e 3N colonne dei loro coefficienti non è altro che la matrice delle n soluzioni linearmente
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il loro angolo (cioè l’angolo non maggiore di π formato dalle loro direzioni orientate) si ha, per le (3) e per la formola di Geometria analitica or
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Dimostrare che, se AB e CD sono due corde d’un cerchio perpendicolari fra loro e se si indica con P il loro punto d’intersezione, il sistema dei
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ove q 1, q 2,... , q n siano, a loro volta, funzioni date dal tempo
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Questa espressione di v 2 mette in luce una decomposizione della velocità vettoriale in due componenti fra loro ortogonali, che qui convien definire
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Accademia della crusca
