Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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Le espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto le seguenti:
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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. Trovata questa, le equazioni del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti tra le q, le p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente le q e le p
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momenti sia funzione della sola coordinata e non delle altre. Questa condizione si suole esprimere dicendo che «le variabili sono separabili»; essa
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Di queste equazioni, le (306'), che non contengono t, determinano la forma della traiettoria di ciascun punto, la (306) determina la legge con cui
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ed esprimendo le frequenze mediante le lunghezze d'onda,
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Si vede di qui che le componenti del vettore sono le , le quali si ottengono dalle componenti fn di f mediante il sistema di (infinite) relazioni
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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sempre reali : trovate queste, si sostituiscono nei tre sistemi e si trovano facilmente le , a meno di un fattore che si determina con le condizioni (34
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(2) Trascuriamo le azioni magnetiche tra le particelle del sistema le quali sono intimamente legate alle correzioni relativistiche che saranno
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Esprimiamo questo operatore, invece che con le sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
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Sostituendo in (93) si vede che i termini con le derivate miste si elidono, e analogamente per le altre coordinate, e resta
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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Particolare interesse hanno poi gli elementi delle tre matrici , rappresentanti le componenti del momento elettrico del sistema nello schema , ossia
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Le relazioni algebriche tra osservabili si tradurranno in relazioni della stessa forma tra le matrici che le rappresentano, intendendosi naturalmente
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Tutte le formule dedotte fin qui valgono rigorosamente, cioè qualunque sia l'ordine di grandezza di . Ora sfruttiamo la circostanza che l'effetto
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con che le risultano quantità piccole rispetto alle E (del primo ordine). Si noti che, nel caso della degenerazione completa, le sono tutte nulle.
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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Bisogna poi stabilire le regole di permutazione degli operatori . Ciò è stato fatto dal Pauli ammettendo che le componenti dello spin si comportino a
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Queste, insieme alla (241), danno le cercate espressioni. Si noti che ha forma diagonale, perchè, per la parte privilegiata che abbiamo conferito
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In questa, sostituiremo le derivate di con le loro espressioni ricavate dalla (259) e dalla sua coniugata, che è (designando al solito con le matrici
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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e, assumendo per le le espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
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Introduciamo le matrici a due righe e inoltre le tre matrici (a due righe e due colonne) , definite al § 45, e che ora per comodità indicheremo con
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Calcoliamo anzitutto le componenti della densità media di corrente j (da cui dovremo poi ricavare il campo magnetico medio generato dall'elettrone
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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Le matrici definite dalle (298), sono hermitiane al pari delle , e soddisfano anche esse (come si vede subito) le relazioni:
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(che, come si vedrà, costituiscono anch'esse le componenti di un quadrivettore invariante, cioè la «tetracorrente») si esprimono in modo uniforme
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Ciò significa non già che la che si ricava da questa sia uguale alla , ma che le quantità , (densità elettrica e densità di corrente nel secondo
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Sostituendo nella (316), e moltiplicando a sinistra per , si ha (si noti che S è permutabile con le ma non con le ):
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il che prova che le si trasformano come le componenti di un quadrivettore invariante, come volevasi dimostrare.
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Scriviamo l'equazione di Dirac nella forma (300), sostituendovi le con le e la con una nuova funzione ; avremo, esplicitando gli operatori mediante
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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Un secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere le della forma
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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il che si verifica immediatamente, applicando le (266) e osservando che, per le (267), le coniugate delle matrici sono uguali alle matrici stesse
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anche (2, 1) è una autofunzione appartenente allo stesso autovalore, perchè questa equazione è ancora soddisfatta se nella yn si scambiano le con le .
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non deve alterarsi scambiando le variabili con le e, d'altra parte, questo scambio muta solo di segno l'integrando: dunque l'integrale è nullo. Si
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Ora formiamo con le autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica la seconda:
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scelte, che indicheremo con , di cui le saranno formate con le sole , le con le sole , perchè, come si è detto al § 62, non è fisicamente ammissibile
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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Sostituendo nei sistemi (394) le (399) e le (400) si trova che, per i = l, 2, 3, le prime due equazioni sono identicamente soddisfatte e le altre due
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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Le leggi che determinano come le variabili di stato variano col tempo (equazioni del movimento) si possono scrivere, nella forma canonica di Hamilton,
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Se anche si esclude il caso che tra le molecole del gas si esercitino delle forze considerevoli, e cioè si considera il caso limite di un gas ideale
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Accademia della crusca
