Le espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto le seguenti:
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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. Trovata questa, le equazioni del moto si hanno scrivendo le relazioni seguenti tra le q, le p e t (da cui si potrebbero ricavare esplicitamente le q e le p
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ed esprimendo le frequenze mediante le lunghezze d'onda,
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Si vede di qui che le componenti del vettore sono le , le quali si ottengono dalle componenti fn di f mediante il sistema di (infinite) relazioni
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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(2) Trascuriamo le azioni magnetiche tra le particelle del sistema le quali sono intimamente legate alle correzioni relativistiche che saranno
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Esprimiamo questo operatore, invece che con le sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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Le relazioni algebriche tra osservabili si tradurranno in relazioni della stessa forma tra le matrici che le rappresentano, intendendosi naturalmente
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Tutte le formule dedotte fin qui valgono rigorosamente, cioè qualunque sia l'ordine di grandezza di . Ora sfruttiamo la circostanza che l'effetto
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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Bisogna poi stabilire le regole di permutazione degli operatori . Ciò è stato fatto dal Pauli ammettendo che le componenti dello spin si comportino a
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In questa, sostituiremo le derivate di con le loro espressioni ricavate dalla (259) e dalla sua coniugata, che è (designando al solito con le matrici
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e, assumendo per le le espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
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Calcoliamo anzitutto le componenti della densità media di corrente j (da cui dovremo poi ricavare il campo magnetico medio generato dall'elettrone
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Un secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere le della forma
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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Ora formiamo con le autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica la seconda:
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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che, integrate, danno per le componenti della velocità v le espressioni
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Le leggi di Keplero sono come è noto, le seguenti:
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Designando con ξ, η, ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k rispetto
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i versori i e j avranno per le (13) le componenti
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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Designate con ξ, η, ζ e x, y, z le coordinate di P rispetto alle due terne ordinatamente, varieranno, durante il moto, in funzione del tempo tanto le
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Proiettando le (2) sugli assi fissi, si ottengono le equazioni del moto assoluto, le quali si presentano sotto la stessa forma delle (6) del Cap
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Se poi riferiamo v, P ed A ad una terna cartesiana, e sono X, Y, Z le componenti del vettore v; x, y, z le coordinate di A e a, b, c quelle di P, le
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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Si indichino con M x , My, M z le componenti di M, con M o | x, M o | y e M o | z le componenti di M o; con x, y, x (anziché con a, b , e come al n
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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sono le sfere concentriche in O; mentre, come già si notò al n. 24, le linee di forza sono le rette della stella di centro O.
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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18. Non sarà male osservare esplicitamente che, come già le aree e i volumi, così anche le velocità e le accelerazioni sono grandezze derivate solo
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Date le ipotesi, le quantità del secondo membro sono tutte conosciute.
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In base a tale corrispondenza biunivoca tra i vettori e le terne di numeri X, Y, Z, le X, Y, Z diconsi le coordinate del vettore v rispetto alla
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Le condizioni di quilibrio (1) o (1') implicano tanto le F , quanto le Φ. Ma in generale i dati direttamente conosciuti sono le forze attive F e le
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Le forze in giuoco saranno in istato di equilibrio limite rispetto al rotolamento, talché ogni appoggio offrirà il massimo momento di rotolamento di
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Le (16), (17) danno nel loro complesso le volute condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio.
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le quali, per una verga piana, rispetto al cui piano si possano ritenere simmetriche tanto le sollecitazioni quanto le azioni molecolari, si riducono
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Per queste analogie (e per altre che tosto indicheremo) fra le X i, Y i, Z i e le Q h, queste ultime quantità scalari si sogliono chiamare le
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26. Fissiamo l'attenzione sulle n quantità scalari Q h definite dalle (11). Da queste equazioni si desume anzitutto che le Q h risultano nulle tutte
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In particolare, la sollecitazione si dirà puramente posizionale quando le F i dipendono esclusivamente dalla configurazione del sistema, cioè dalle
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da, cui, sfruttando le (40), (42) e le identità b Λ n = - t, si ricava
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Perciò, tenendo conto delle (19), otteniamo per le reazioni le espressioni generali
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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Ciò premesso, ricordiamo che fra le funzioni (16) e (17) sussistono le note relazioni
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Sono infine estremamente appariscenti le relazioni tra la ionizzazione atmosferica e quegli stessi fenomeni solari che dànno origine alle tempeste
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Accademia della crusca
