D’altra parte se si indicano con i, j, k i tre vettori unitari che hanno la direzione e il verso degli assi orientati x, y, z rispettivamente, o
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Designando con ξ, η, ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k rispetto
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O(t) della origine; b) l'orientazione, istante per istante, degli assi mobili rispetto alla terna fissa, cioè i tre versori fondamentali i, j, k
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soddisfare alle note condizioni (formule (7) del n. 8 del Cap. I) esprimenti che i vettori i, j, k sono unitari e a due a due ortogonali.
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, costanti i tre vettori fondamentali i, j, k. Inversamente, se durante un moto rigido i, j, k sono costanti, tale risulta in virtù della (5), per ogni punto
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di verso concorde a quelli della terna fissa: allora i versori i, j, k , che, trattandosi di un moto traslatorio, sono costanti, avranno durante
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i versori i e j avranno per le (13) le componenti
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Giova notare infine che, se i versori fondamentali i, j, k della terna Oxyz si riferiscono ad un’altra terna Ωξηζ e si indicano con αiβiγi (i = 1, 2
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e derivarlo rispetto al tempo; onde si è condotti a considerare le derivate rispetto a t dei versori fondamentali mobili i, j, k. Esse sono fra loro
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Ma dal fatto che la torna di versori i, j, k è ortogonale e destrorsa risulta
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Ma dalle sei identità esprimenti che i vettori i, j, k , sono unitari e a due a due ortogonali:
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Per le varranno relazioni analoghe, che si otterranno permutando circolarmente nella precedente i versori i, j, k; e poiché una tal permutazione
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Notiamo da ultimo che qui si è dato al parametro t da cui dipendono i, j, k, il significato di tempo; ma di tale interpretazione non si è fatto
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e di più supponiamo assegnato il moto di trascinamento mediante le funzioni vettoriali O(t), i(t), k(t), dove i , j , k, designano al solito i
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), i(t), j(t), k(t) (origine e versori fondamentali della tenia mobile) che, come si è visto fin dalla impostazione della Cinematica dei solidi (Cap
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ricordato or ora, è individuata dai tre versori fondamentali i, j, k degli assi mobili; ma naturalmente si può anche pensare determinata dai tre versori
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A tale scopo giova ricorrere ai versori fondamentali i, j, k, ed osservare che dalla definizione di prodotto vettoriale, tenuta presente la
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fissato su c viene a trovarsi nell’intersezione J di c col raggio OI 0 di γ, od anche, poiché il moto avviene per ipotesi senza strisciamento; che
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25. Sotto il primo punto di vista si riconosce immediatamente che J appartiene alla parallela condotta per J alla MT' IT'' (tangente comune ai due
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Ora ciascuno di codesti aspetti dà luogo, come vedremo, ad una proprietà di posizione del centro istantaneo di rotazione J di Φ' rispetto a Φ. La
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fisso di Φ, perciò (n. 10) il centro istantaneo J si trova sulla perpendicolare ad MN', il che è quanto dire sulla parallela ad MT', condotta per I.
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Analogamente in base al terzo aspetto del nostro moto si conclude che, se Γ è il centro di curvatura del profilo γ e Γλ quello della base, J
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è l'equazione della retta che congiunge l’origine I con l’intersezione J delle rette dianzi considerate.
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intersezione della normale colla retta Γ λ J, essendo a sua volta J intersezione di PC 1 colla parallela IT" alla tangente a γ in P.
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La retta CC l è qui rappresentata da P O, la IT" dalla perpendicolare ad IP per I. La loro intersezione (J nell’enunciato generale del n. 25) è così
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sia, per valori generici delle q j, di caratteristica n.
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certe n coordinate q j si possono introdurre altri n parametri q'k , legati ai primitivi da n equazioni quali si vogliano
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esattamente sempre e solo quando al variare delle coordinate q j varia altresì la corrispondente configurazione; e perché ciò accada, occorre e basta
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che, ove si introducano gli N r vettori a k . i di componenti a'k.i, a''k.i, a'''k.i e gli Ns vettori a j . k di componenti α'j . i, α''j . i, α'''j
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Invero, se si denotano con P i', P j'', i punti di S', S'' con m i', m j'' le rispettive masse, si ha, per un qualsiasi punto O,
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Più precisamente se v i ( i = 1, 2,…, p)sono le lunghezze dei vari vettori di σ 1, w j quelle dei vettori di σ 2, e poniamo
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Il vettore J che ha per componenti tali integrali chiamasi integrale definito di v, relativo all’intervallo (t 0, t 1), e si rappresenta col simbolo
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Immaginando applicato tale vettore J(t) ad un punto fisso O, comunque prescelto, il secondo estremo è un punto P(t), esso pure funzione di t ed
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Sarebbe assai facile riconoscere che l’integrale J così definito può effettivamente considerarsi come il limite di una somma (vettoriale), ottenuta
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Sostituendo J in luogo di J si ottiene
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(26) J
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J
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, dalla quarta in avanti. Perciò, ove si applichi lo sviluppo del Taylor a J si potrà arrestarsi dopo il secondo termine, omettendo il resto, che
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1.° se ρ e φ sono le coordinate polari di un punto P del piano e i, j i soliti versori fondamentali del corrispondente sistema cartesiano Oxy, si ha
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dell’ Appell, e le monografie del sig. J. A. Bonneau Instruments de pésage, etc. (Paris: Gauthier-Villars, 1908-1911). per le altre macchine semplici e
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Cfr. per es. il n. 169 (cap. VIII) nel vol. I del Traité de mécanique rationnelle dell’ Appell, e le monografie del sig. J. A. Bonneau Instruments de
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costanti, le condizioni (15), (16), (18), dell’equilibrio. Presi, invero, r + s numeri quali si vogliano λk (k = 1, 2,..., r) e μj (j = 1, 2,..., s), si
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Le U j sono in tal caso forme lineari omogenee nelle componenti d x, dy, d z di un generico spostamento virtuale di P. Supposto che si tratti un
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Non altrettanto accade delle equazioni U j = 0 che provengono da vincoli unilaterali. Per rendercene conto fissiamo l’attenzione su di un esempio
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j ≤ 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione espressiva della forma parametrica (19) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto la
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- λk a k.i, - μk a k.i, che nei vari punti P i provengono da un determinato vincolo (B k = 0 o, rispettivamente, U j ≤ 0) si riduce alla
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5 . Dimostrare che, se ad ogni vettore v = X i + Y j del piano O x y si fa corrispondere il numero complesso
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terna stessa anche il punto O e i vettori i, j, k .
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Indicando con i, j, k, i versori fondamentali della terna Oxyz, e con x(t), y(t), z(t) le coordinate di P nell’istante t rispetto a codesta terna
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a t. Poiché rispetto alla terna Ωξηζ, che per ipotesi è fissa rispetto alla Oxyz, il punto O e i vettori i, j, k, sono costanti, si ottiene
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Accademia della crusca
