, p) così definita si chiama l' hamiltoniana del sistema, e contiene in sè tutto ciò che occorre per caratterizzare le proprietà meccaniche di questo
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potenziale U) in funzione delle q e delle p (la funzione H (q, p) così definita si chiama l' hamiltoniana del sistema, e contiene in sè tutto ciò che occorre
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chiamata hamiltoniana, diremo che l'equazione di Schrödinger si ottiene trasformando l'hamiltoniana in un operatore (che chiameremo bramiltoniano) mediante
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sarà fatta fondandosi sull'analogia rilevata al § 19. Partiamo perciò dall'espressione classica dell'hamiltoniana di un sistema di N particelle in
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Dunque lo spezzarsi dell'hamiltoniana nella somma di N termini ciascuno dei quali dipende dalle coordinate di una sola particella porta con sè la
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particelle, soggette a forze derivanti da un potenziale (nel qual caso la funzione F(q, p) è la hamiltoniana (q, p)) si ritrova il procedimento del § 19 per
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P. es., nel caso di un punto nel piano non soggetto a forze, usando le coordinate polari e i rispettivi momenti l'espressione dell'hamiltoniana
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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ordinarie equazioni della dinamica della particella si possono anche in questo caso mettere sotto forma hamiltoniana introducendo (1) Ricordiamo che il
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trasformando la hamiltoniana (138) in operatore mediante la solita sostituzione (S) di pagina 338, cioè ponendo
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magnetico si ottiene dall' hamiltoniana senza campo sostituendo con l'operatore
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L'espressione dell'energia in funzione di x e di p = mx (hamiltoniana) è, analogamente alla meccanica classica,
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Consideriamo dapprima il sistema imperturbato, e diciamo l'hamiltoniana che lo caratterizza (distingueremo in genere con uno zero in alto le quantità
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Le forze perturbatrici saranno rappresentate da un termine aggiunto all'hamiltoniana, che diverrà : quindi l'operatore corrispondente diventerà
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Introduciamo ora una perturbazione, dipendente eventualmente anche dal tempo, per la quale l'hamiltoniana divenga
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Ci troviamo qui per la prima volta di fronte ad un'hamiltoniana dipendente da t: postuliamo che anche per essa valga, l'equazione temporale di
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Supponiamo dunque che il termine perturbatore dell'hamiltoniana sia della forma
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sul magnete in moto. , si ottiene semplicemente aggiungendo all'hamiltoniana di un elettrone senza spin, trovata al § 31, l'energia di interazione tra
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dall'espressione relativistica dell'hamiltoniana (anzichè dall'espressione classica come si è fatto al § 19) e la si trasformasse in operatore mediante la solita
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e magnetico, derivante da un potenziale scalare V e da un potenziale vettoriale A: l'hamiltoniana relativistica è Difatti, la forza viva è
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, l'hamiltoniana gode questa proprietà, si deduce, con lo stesso procedimento usato nel caso di due particelle, che se in una autofunzione si permutano in
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casi), sarebbe possibile con una conveniente hamiltoniana (simmetrica), farla evolvere in modo che dopo un certo tempo si identifichi con la
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magnetici. La ragione è che, nella teoria precedente, gli spin, sebbene non intervengano nella espressione dell'hamiltoniana, intervengono
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dove la funzione H (q 1, q 2, ..., q f, p 1, p 2, ..., p f), detta funzione di Hamilton, o semplicemente Hamiltoniana, s'identifica, per il caso dei
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sistema sia conservativo e la Hamiltoniana H indipendente dal tempo, questa famiglia di traiettorie ha le seguenti proprietà:
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Accademia della crusca
