che dà il rapporto incrementale della velocità ed ha le componenti
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42. Ciò premesso, passiamo allo studio dei moti definiti dalla (49); ed anzitutto notiamo che, se h è negativo ed è precisamente h = -h 1 talché la
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un’elica circolare è costante ed eguale a essendo 2πh il passo dell’elica ed r il raggio del cilindro cui essa appartiene. (Cfr. Cap. I, n. 83).
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dove Ω designa un punto fisso ed ω un vettore di direzione fissa.
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applicata per si ha, in quanto ω x ω = ω2 ed ω e P - Q sono ortogonali,
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dove (importa ricordarlo) Ω è un punto fisso, i vettori τ ed ω dipendono esclusivamente dal tempo, ed ω ha direzione fissa.
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Questi moti, per definizione, sono caratterizzati dalla costanza dei due vettori τ ed ω rispetto alla terna Ωξηζ; e avvertiamo sin d’ora che in tal
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I tre angoli Θ, φ, ψ, così definiti, chiamansi angoli di Eulero della terna Ωξηζ (o di ogni terna parallela ad essa ed ugualmente orientata) rispetto
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I vettori v a ed a a son dati, per definizione, da ove, beninteso, la variabilità di P si riferisca alla terna fissa Ωξηζ; mentre la velocità e l
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ad arbitrio un segmento AB e un punto P, esiste sempre ed è unico il segmento PQ equipollente ad AB ed avente l'origine P.
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e uguagliando i momenti risultanti rispetto ad I e osservando che le distanze Γλ I, C l I non sono altro che i raggi di curvatura ρλ ed r l di λ ed l
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ed è questa la preannunciata formula del Savary.
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Intanto C l, Γλ sono ora i centri O ed Ω delle due circonferenze λ ed l. Inoltre, dacché ci riferiamo siamo alla epicicloide ordinaria descritta da
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essendo polo O' ed asse polare un raggio O'A' solidale con F'.
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52. Ciò posto, siano ρ e ρ' i raggi delle circonferenze primitive, n ed. n' i numeri di denti di cui sono munite le ruote r ed R' rispettivamente.
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dove le a h, b siano funzioni delle coordinate q h ed, eventualmente di t, comunque prefissale, cioè tali che la (8) non sia deducibile per
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che, derivata rispetto a in quanto π, χ ed f non dipendono da codesto argomento, fornisce l’identità
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Se, rispetto ai due centri di riduzione P e P', sono rispettivamente M i ed M i' momenti di un vettore generico v i; M ed M ' i momenti risultanti
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Proporzionalità tra forza ed accelerazione.
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F = m 1 a 1 ed F = m 2 a 2,
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ed anche qui le superficie equipotenziali sono i piani ortogonali alla direzione fissa della forza.
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§ 2. - Lavoro ed energia cinetica.
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talché si conclude che la F è veramente conservativa ed ammette il potenziale U.
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Restando fissi il metro ed il secondo, da
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Di qui, in quanto a ed a', in istanti corrispondenti, hanno direzioni omologhe nella similitudine geometrica, risulta che la stessa circostanza si
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S ed s rappresentano spese a parità di tempo; riferendole in particolare al tempo (identico, attesa la eguale velocità) che Ω ed ω impiegano a
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Esempio I°. – Sono indipendenti velocità, accelerazione ed energia, perché avendo questi tre enti i coefficienti di riduzione
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Una forza avrà dunque rispetto alle unità di velocità, accelerazione ed energia l’equazione di dimensioni
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Se invece r 1 ed r 2 sono parallele, è parallela ad esse anche r 2. Infatti, ove ad es. r 1 ed r 3 avessero un punto comune, in tale punto, per
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14. Un sistema materiale S consta di due parti S 1 ed S 2. Sieno ordinatamente Ί1, Ί2, ed Ί i momenti di inerzia di S 1, S 2 ed S attorno a tre assi
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essendo R 1 ed R 1 i raggi delle due sfere che limitano l'involucro.
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2. Siano P e Q due generici punti materiali di masse rispettive m ed m 1, situati alla distanza r. Essi si attraggono (legge di gravitazione
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Così, p, es., esiste ed è ben determinato l’integrale
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20. Attrazione di una crosta sferica omogenea, e in particolare di una sfera a strati concentrici omegenei. - Siano R 1 ed R 2 (R 1 > R 2) i raggi di
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ed anzi si potrà senz’altro supporre che il peso si scarichi uniformemente sui 2n appoggi.
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Determinare le reazioni in A ed in B, supponendo trascurabile l’attrito del perno B. [La componente verticale (verso l'alto) della reazione in A vale
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Determinare le pressioni sugli appoggi (eguali ed opposte alle reazioni normali offerte dai medesimi).
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§ 3. - Fili flessibili ed inestendibili.
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Il limite della curvatura media (37) per P 1 convergente a P, cioè per dicesi curvatura o flessione della curva l in P; ed è facile riconoscere che
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dopo di che basta dividere membro a membro per la prima delle(20') ed eliminare T ed s,per ottenere l’equazione differenziale
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ed applicazioni.
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dove r indica il raggio di curvatura della funicolare ed n il vettore unitario diretto secondo la normale principale ed orientato dal punto generico
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Chiamando al solito R ed M la risultante ed il momento risultante (rispetto ad un punto dell’asse) di tutte le forze attive, ed r la direzione dell
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ossia, tenuto conto delle (9) ed (11),
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8. Un esagono ABCDEF, costituito da sei aste omogenee ed eguali, è attaccato in A e disposto simmetricamente rispetto alla verticale di A. Esso è
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ed esempi illustrativi.
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ed è quindi proporzionale al quadrato della distanza dall’asse di rotazione e al quadrato della velocità angolare.
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’aggiungere due vettori eguali ed opposti, applicati in O: R'1 equipollente ad R 1, ed R'2 equipollente ad R 2.
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L’equazione (8) ammette pertanto una ed una sola radice ψ fra 0 e π/2.
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di essi, come risulta, dalle (12), ha per traiettoria una retta (parallela all’asse z) ed è uniforme; talché concludiamo che ogni moto a velocità
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Accademia della crusca
