Determinato λ si ricava da una qualunque delle (23)
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Sostituendo l'espressione (86) nell'equazione (85), e uguagliando a zero i coefficienti delle singole potenze di , si determinano formalmente i
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che è la prima delle (94').
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dalle sei componenti del campo elettrico E e di quello magnetico H, ciascuna delle quali soddisfa l'equazione delle onde, che per Ex, p. es., è:
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La velocità di fase delle onde di De Broglie è dunque
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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Essendo la T una funzione quadratica delle , i momenti risultano funzioni lineari delle : è anzi possibile risolverle ed esprimere le come funzioni
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(1) Come si sa dalla meccanica, la forza viva T del sistema è una funzione delle q e delle e si chiamano momenti le quantità
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E poichè, come si è visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare questa come una funzione delle f costanti J, e
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(estendendo le considerazioni del § 51 mediante la separazione delle variabili) come conseguenze di prima approssimazione dell'equazione di Schrödinger e delle
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sistema delle q' si possa eseguire la separazione delle variabili, il che implica (se il sistema non è degenere) che la trasformazione che conduce
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Ora, per la legge delle aree,
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deve essere soddisfatto non solo nei riguardi della frequenza ma anche delle altre proprietà della radiazione emessa. Tale postulato, noto col nome
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e ricordando la regola di moltiplicazione delle matrici (28):
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Sviluppiamo la in serie delle :
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cioè l'ordinaria equazione di Schrödinger relativa alla particella k-esima. Si può dunque prendere come del sistema il prodotto delle delle singole
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dove è una funzione delle sole , che soddisfa l'equazione
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vale a dire: il sistema è in uno stato stazionario, e la sua energia è la somma delle energie delle singole particelle.
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Vogliamo ora stabilire delle altre importanti relazioni di permutazione. Sia una funzione delle sole q, e consideriamola come un operatore : si ha
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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, che più propriamente si chiama anche «numero d'onde», perchè rappresenta il numero delle lunghezze d'onda contenute in un cm. L'uso del «numero
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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L'importanza della teoria delle perturbazioni in fisica atomica è grandissima, poichè molti problemi, di grande interesse dal lato sperimentale
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Moltiplichiamo (a sinistra) i due membri per e integriamo rispetto a tutto lo spazio delle q, tenendo presenti le condizioni di ortogonalità e
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Moltiplicando per , e integrando su tutto il campo di variabilità delle coordinate si ha (ricordando l'ortogonalità e la normalizzazione delle , e
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Riprendiamo ora il caso generale, e occupiamoci della ricerca (in prima approssimazione) delle autofunzioni perturbate date dalla (189). È opportuno
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Guidati dalla scoperta delle serie dell'idrogeno, gli spettroscopisti ricercarono delle regolarità analoghe negli spettri di altri elementi, ed
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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Se ciascuna delle fosse vincolata solo da un'equazione differenziale del secondo ordine rispetto al tempo, bisognerebbe assegnare i valori iniziali
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(1) Analogamente, nella teoria elettromagnetica della luce, l'equazione delle onde (del 2° ordine) è conseguenza delle equazioni di Maxwell (del 1
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nell'interpretazione dello spettro di una sostanza è il ricavare dalla tabella delle frequenze delle sue righe spettrali, la tabella, assai più ridotta
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Per chiarire la cosa con un esempio, cerchiamo gli autovalori e le autofunzioni dell'operatore , definito da (288), ossia dall'ultima delle (289
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Introducendovi la (303') e tenendo conto delle (298) si ha
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il che si verifica immediatamente, applicando le (266) e osservando che, per le (267), le coniugate delle matrici sono uguali alle matrici stesse
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(1) Lo studio generale delle proprietà di simmetria delle autofunzioni di particelle è stato fatto coi metodi della teoria dei gruppi da E. WIGNER
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(a causa della antisimmetria delle funzioni integrande), la (395) si scrive:
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§ 4. — NORMALIZZAZIONE DELLE AUTOFUNZIONI.
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Dimostreremo ora una proprietà fondamentale delle autofunzioni.
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Invece che per mezzo delle coordinate generali e delle loro derivate rispetto al tempo, rappresenteremo lo stato del sistema per mezzo delle 2 f
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, spazio delle fasi uno spazio di 2 f dimensioni, avente le 2 f variabili di stato (2) come coordinate cartesiane ortogonali. Esiste evidentemente una
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Come lo stato di un sistema varia col tempo per effetto del movimento del sistema, così il punto che rappresenta lo stato nello spazio delle fasi si
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esprime che il numero totale delle molecole è N; l'altra esprime il principio della conservazione dell'energia e si può formulare nel modo seguente
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Riferiamoci dapprima al caso di un gas costituito da molecole che, per semplicità, ammetteremo essere tutte della stessa specie. Ciascuna delle
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Siccome tutte le celle in cui abbiamo diviso lo spazio delle fasi hanno egual volume, i numeri N s sono proporzionali alla densità dei punti
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b) Ogni traiettoria giace per intero sopra una delle superficie
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dove l'integrale si deve estendere a tutto lo spazio delle fasi.
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s'interpreta geometricamente, nel "piano" delle fasi, così: l'area del piano delle fasi racchiusa entro l'orbita corrispondente all'n mo stato
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In questa considerazione, basata sulla meccanica classica, il valore di π, data la legge di densità della distribuzione nello spazio delle fasi, non
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la validità della statistica di Fermi o di Bose-Einstein per le varie particelle elementari al carattere di antisimmetria oppure di simmetria delle
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Raccogliamo qui i principali risultati delle nuove statistiche.
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Accademia della crusca
