Per tale ragione, una sostituzione lineare i cui coefficienti soddisfano le (19) si chiama una sostituzione ortogonale.
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da cui
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da cui
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da cui, derivando due volte,
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da cui, essendo I>0, si trae la (66).
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da cui, integrando
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Caso particolare assai notevole è quello in cui P = 1, cosicchè i primi due termini formano il laplaciano .
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Poichè v si suppone noto, la vx resta determinata con la stessa esattezza con cui si ha la dalla (106), la quale esattezza dipende dalla precisione
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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In questa formula, rappresentano tre integrali in cui entrano le autofunzioni dei due stati stazionari, iniziale e finale, e precisamente
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da cui:
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Il caso più interessante nella pratica è quello, più generale del precedente, in cui sono assegnate la densità di probabilità dell'ascissa della
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Ha particolare interesse il caso in cui le curve e sono tali che al tempo O sia
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da cui si ricava
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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il cui integrale generale è
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da cui si ricava che A deve essere uguale al numero intero
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Affinchè la serie si riduca ad un polinomio (di cui indicheremo il grado con n') occorre che sia : quindi che
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(1) Sceglieremo il verso positivo di coincidente col verso in cui è percorsa l'ellisse, cosicchè p non sia negativo.
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cui corrispondono altrettante inclinazioni del piano dell'orbita. L'esistenza di queste inclinazioni discrete si designa spesso con l'espressione
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Lo sviluppo d Fourier si riduce dunque ai soli due termini di frequenza , e cioè mancano tutti i termini in cui l'indice non è uguale a ± 1. Saranno
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P. es., l'o. l. detto laplaciano, di cui si fa grande uso in fisica matematica, definito da
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(1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui si possano applicare gli operatori in questione.
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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essere moltiplicata per una funzione arbitraria fn(y) delle y, senza cessare di soddisfare la (53), per cui anche si potrà considerare come
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e sia un sistema completo di autofunzioni , per cui
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da cui (lasciando in ciascun secondo membro solo l'ultimo termine, e dividendo membro a membro)
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ma, essendo la prima sommatoria si riduce al solo termine in cui r = k, cosicchè l'equazione diviene
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Una proprietà della , di cui si fa spesso uso, è quella espressa dalla formula
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(1) Almeno se i processi di misura con cui si definiscono dette osservabili soddisfano certe condizioni : v. § 24.
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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da cui
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in cui le precedenti rientrano come casi particolari.
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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approssimazione (218), la formula si identifica con la (177). Si osservi che i coefficienti a del § 38 (in cui si è trascurato di scrivere l'indice n) si
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Queste due equazioni omogenee (il cui determinante è nullo in virtù di danno:
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Quanto ai tre termini in cui , essi danno, tenendo presenti le (234),
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D'altra parte, si può dimostrare (1)V. p. es. bibl. n. 26, p. 173. che un corpo magnetizzato di cui I sia l'intensità di magnetizzazione, genera un
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è già visto in generale nel § 51. Nell'ordine di approssimazione in cui o si ritengono trascurabili rispetto a , la soluzione I corrisponde al caso
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da cui (moltiplicando a destra per )
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lasciando i coefficienti per ora indeterminati: più brevemente scriveremo, indicando con S la matrice i cui elementi sono
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da cui si ricava
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da cui, moltiplicando la prima per A e la seconda per B e sommando,
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e, ricordando che per la soluzione di cui ci occupiamo si ha j = / 1/2,
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(1) Il caso corrisponde al caso in cui l'integrale di scambio è nullo; v. nota al paragrafo precedente.
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L'esattezza con cui questa legge è verificata è mostrata dal diagramma della fig. 16, in cui i valori misurati di λsono portati come ordinate in
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Il numero delle molecole le cui coordinate e i cui momenti sono rispettivamente comprese negl'intervalli
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in cui g e è sono costanti, che si possono determinare in modo da soddisfare (5) e (6) e, al solito, e denota la base dei logaritmi naturali. La
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molecole è un sistema meccanico, il cui stato si potrà rappresentare come un punto in uno spazio delle fasi della molecola. Pensiamo di segnare in questo
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a cui corrisponde il calore atomico
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Accademia della crusca
