Da ciò si comprende, che ogni volta, che λ, crescendo, passa per uno degli autovalori, un nuovo nodo entra nell'intervallo AB. Indicando con λ1, λ2
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che sono gli autovalori cercati.
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Gli autovalori sono dunque
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Si è dunque in un caso di degenerazione: gli autovalori sono doppi (eccetto l'autovalore O).
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Consideriamo la successione delle infinite autofunzioni normalizzate e ortogonali tra loro, y1, y2..., corrispondenti agli autovalori dell'equazione
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(1) Per comprendere intuitivamente il passaggio, si pensi di rappresentare con dei punti su una semiretta (fig. 18) gli autovalori (28'): è chiaro
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Inoltre le funzioni Δy godono una proprietà che è la naturale estensione della ortogonalità di due autofunzioni relative ad autovalori diversi
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Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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Tale problema in generale non ammette soluzioni regolari e non nulle, fuorchè per certi valori del parametro , che si chiamano autovalori. Essi
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La (133) è stata scritta per il caso di autovalori discreti. Se invece gli autovalori della (131') costituiscono uno spettro continuo da ad , la
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Dunque: gli autovalori della (183') sono tutti i numeri dispari positivi.
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e ricavando dalla (259), si trova infine che, se E è negativo, esso deve avere uno degli autovalori
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autovalori del problema senza passare attraverso l'equazione di Schrödinger: dando ad n i successivi valori interi si ottengono i successivi
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In generale, chiameremo autovalori dell'o. l. i numeri An e autofunzioni le funzioni tali che
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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Nel caso degli autovalori continui è importante osservare che se è un'autofunzione di appartenente all'autovalore , e normalizzata (col criterio del
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teorema, cosicchè si può dire in tal caso: gli o. l. ed hanno gli stessi autovalori e le stesse autofunzioni.
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tempo autofunzioni di e di , cosicchè si possa scrivere (ordinando convenientemente gli indici degli autovalori)
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: gli autovalori di un o. l. hermitiano sono sempre reali.
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Accenneremo infine al caso in cui l'equazione che definisce le y ha, oltre allo spettro continuo tra a e b, anche degli autovalori discreti. Allora
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dove si è indicato con x' l'autovalore (trattandosi, come si vedrà, di autovalori continui). Ora, la (74') è soddisfatta prendendo x' qualunque e
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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(2) Questi autovalori risultano sempre reali, perchè l'operatore è hermitiano.
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: i suoi autovalori rappresentano (2) Questi autovalori risultano sempre reali, perchè l'operatore è hermitiano. i possibili risultati di una misura di
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probabilità). Se l'operatore ha invece uno spettro continuo di autovalori, indicheremo uno generico degli autovalori continui con G', anzichè con Gr, e
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(1) Ciò potrebbe giustificarsi direttamente con un passaggio al limite del tutto analogo a quello fatto per il caso degli autovalori multipli
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(dove G' è un parametro): gli autovalori di questa equazione danno i possibili risultati di una misura dell'osservabile G, e, dette le corrispondenti
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Si può dimostrare che se G è un integrale primo, i suoi autovalori sono costanti (anche se G contiene esplicitamente t) e inoltre, sebbene gli assi
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Ricerchiamo ora le autofunzioni e gli autovalori di questi operatori. Prendiamo p. es. : osserviamo che, se si introducono coordinate polari , con
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Sono questi gli autovalori cercati, e gli stessi si troverebbero per ed .
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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diagonali della matrice , cioè gli autovalori cercati, si ha (1) In questo problema, numeriamo le righe e le colonne delle matrici a partire da 0 anzichè da 1
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trattazione ondulatoria dello stesso problema in cui abbiamo numerato gli autovalori , etc.
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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sappia completamente risolvere cioè che si conoscano tutti gli autovalori , (che supponiamo discreti (1) Se gli autovalori sono in parte discreti ed in
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Così, dalla risoluzione dell'equazione secolare (186), si hanno, in prima approssimazione, le perturbazioni degli autovalori del multipletto.
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Quindi la seconda approssimazione degli autovalori del multipletto o del livello multiplo è data da
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Da questa relazione si traggono intanto gli autovalori perturbati, anche senza determinare le : difatti, per essa diviene
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autovalori e perciò saranno rappresentati da matrici di due sole righe e colonne: saranno cioè della forma
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gruppi di quattro numeri. In corrispondenza a ciò, ciascuno di essi ha solo 4 autovalori e 4 autofunzioni (anzi, i 4 autovalori si riducono a 2 autovalori
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Dovendosi escludere la soluzione , dovrà aversi o o : e poichè ognuno di questi autovalori, come vedremo subito, è doppio, lo conteremo per due, e
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Quindi e si ottengono, in sostanza, risolvendo un medesimo problema di autovalori: basta scrivere l'equazione seguente (che riproduce le (368), ma
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Ricerchiamo ora le autofunzioni di approssimazione zero corrispondenti a questi autovalori: esse sono date (v. § 39) da:
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Si osservi ora che, poichè trascuriamo le forze dovute agli spin, gli autovalori risultano indipendenti dai numeri quantici di spin , dipendendo solo
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È da notare però che, salvo casi eccezionali, per questa via non si può praticamente giungere alla determinazione degli autovalori e delle
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Si può dimostrare (1)v. Bibl, n. 25. che un'equazione del tipo (14), con le condizioni agli estremi (α) ammette sempre infiniti autovalori tutti
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Consideriamo due autofunzioni yn, ym, della (14), relative alle condizioni (α), ed appartenenti a due distinti autovalori λn, λm: esse soddisferanno
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ortogonalità: si dirà dunque che: due autofunzioni della (14) soggette ad annullarsi agli estremi, ed appartenenti ad autovalori diversi, sono ortogonali.
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Accademia della crusca
