e si trova immediatamente che, affinchè y1, y2risultino ortogonali e normalizzate, i coefficienti devono essere soggetti alle restrizioni
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dove, conformemente alle (32),
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Similmente si imporrà alle autofunzioni la condizione di normalizzazione:
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conformemente alle (94'). Similmente si potrebbe ragionare riguardo alla coordinata z ed al rispettivo impulso (disponendo altrimenti la camera
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di trovare le componenti dell'impulso comprese tra e . La funzione ha dunque, rispetto alle misure di impulso, lo stesso significato che ha la
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e, poichè , e i due ultimi fattori si sono già normalizzati conformemente alle (231) e (244), risulta che R dovrà essere normalizzato in modo che sia
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dalle q alle q' deve appartenere ad un tipo particolarmente ristretto, che non altera le linee coordinate nè modifica gli integrali J (o, al più, opera su
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(1) Ci riferiamo per semplicità alle orbite circolari, ma il ragionamento si estende subito alle orbite ellittiche, sostituendo a e P con i loro
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Esaminiamo ora il significato fisico che si può attribuire alle orbite della teoria di Bohr e Sommerfeld ed al moto dell'elettrone su di esse. Per
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Dunque: un'orbita è fisicamente determinabile tanto più esattamente quanto più grande è n. Alle prime orbite (p. es. n = 1, 2...) non si può
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dell'elettrone rispetto al nucleo (): si trova allora che i momenti coniugati alle tre prime sono identicamente nulli e quelli coniugati alle altre tre sono
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questa funzione sono eguali alle frequenze corrispondenti ai singoli gradi di libertà:
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Quanto abbiamo detto ora si riferisce solo alle frequenze delle righe spettrali, non alla loro intensità ed al loro stato di polarizzazione, che
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La classe degli operatori lineari gode delle proprietà di alto interesse matematico (v. bibl. n. 33): noi ci limiteremo qui alle nozioni essenziali
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Si possono definire delle operazioni di combinazione tra operatori lineari analoghe alle operazioni di somma, differenza, ecc. con cui si possono
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Consideriamo ora, oltre alle autofunzioni definite dall'equazione (7), un altro sistema completo di autofunzioni (1) È superfluo avvertire che
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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con i coefficienti c arbitrari. Naturalmente, alle si possono sostituire p loro combinazioni lineari, ortogonali tra loro (ciò si dimostra come al
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funzioni . Generalmente converrà supporre queste ortogonali e normalizzate rispetto alle y, e allora (supposte le normalizzate rispetto alle x) le
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sostituire alle sommatorie rispetto a un indice degli integrali. P. es., la (10) diviene
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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(2) Trascuriamo le azioni magnetiche tra le particelle del sistema le quali sono intimamente legate alle correzioni relativistiche che saranno
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Ma si badi che la (87") (stabilita nella sola ipotesi della indipendenza dinamica delle particelle) ammette, oltre alle soluzioni del tipo (90
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dove le due funzioni e soddisfano alle
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la probabilità del valore è . (Si noti che, essendo il vettore unitario si ha , come deve essere per poter attribuire alle il detto significato di
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L'aspetto paradossale di queste equazioni scompare quando si tenga presente che esse si riferiscono non alle grandezze fisiche e ma ai loro operatori
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(1) Più precisamente supponiamo tutte le piccole del primo ordine rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e le sono piccole del primo
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con che le risultano quantità piccole rispetto alle E (del primo ordine). Si noti che, nel caso della degenerazione completa, le sono tutte nulle.
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1. Sostituendo nella (183), e badando alle (182), otteniamo
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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Affinchè il secondo membro abbia effettivamente la forma di una divergenza, basta imporre alle matrici le condizioni
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Quanto alle quattro matrici , si possono prendere le seguenti, che, come si verifica, sono hermitiane e soddisfano la (266'):
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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da cui si vede che le sono ordinariamente piccole rispetto alle (ossia, sono piccole rispetto a ). Sostituendo nella (277) questa espressione di si
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il che equivale alle quattro equazioni:
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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la terza e la quarta), e precisamente alle seguenti
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Applichiamo ora questo operatore alle della forma (338) o della forma (341), osservando che
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), limitatamente al caso in cui l'energia è negativa (caso che corrisponde alle orbite ellittiche). Introduciamo le notazioni:
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il che si verifica immediatamente, applicando le (266) e osservando che, per le (267), le coniugate delle matrici sono uguali alle matrici stesse
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e quindi decresce col crescere dell'impulso, ossia della velocità, il che non corrisponde certamente alle proprietà di nessuna delle particelle
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poi prenderne una particolare autofunzione e porre in essa l'indice 1 alle variabili, e un'altra particolare autofunzione (che può eventualmente
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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Consideriamo due autofunzioni yn, ym, della (14), relative alle condizioni (α), ed appartenenti a due distinti autovalori λn, λm: esse soddisferanno
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Accademia della crusca
