e le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
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mentre per la velocità e l'accelerazione si ha, in base alle prime delle (39) e (40)
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che per V = 0 si riducono, com’è naturale, alle (6"), ove si ponga Θ = ωt.
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L’accelerazione complementare non ha un significato cinematico immediato, ma assume una forma espressiva e adatta alle applicazioni se si introduce
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cosicché pel moto assoluto si avrà, in base alle (5), (8),
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Sostituendo allora nelle (22), si perviene alle
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E, in base al n. 34 del Cap. III, nel primo caso la velocità dei singoli punti A del piano mobile sono, ad ogni istante, ortogonali alle loro
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Per il teorema di Chasles (n. 4), I'M c e I'M γ risultano normali alle traiettorie di M, cioè alle curve c e γ.
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ossia, in base alle (25) e alla ξ2 + η2 = ρ2,
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che in base alle (11), per la indipendenza di si spezza nelle due ulteriori identità
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le quali, in base alle (11), sono entrambe lineari non omogenee in
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dove le variazioni δq h delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
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ossia, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, alle
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ossia, rispetto a tre assi fissi, alle tre equazioni differenziali del 2° ordine
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Ciò vuol dire che l’equazione (18) deve essere omogenea di grado n 1 rispetto alle lunghezze, di grado n 2 rispetto ai tempi, di grado n 3 rispetto
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Ora q, come misura di una quantità fisica, è dotato della solita triplice omogeneità, rispetto alle lunghezze, ai tempi e alle masse, secondo certi
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Precisamente se alle misure q', q'', q''' di tre grandezze fisiche Q', Q'', Q''' spettano i coefficienti di riduzione
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Una forza avrà dunque rispetto alle unità di velocità, accelerazione ed energia l’equazione di dimensioni
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Sostituendo alle due variabili a e b due altre k, σ date da
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Notiamo infine che, quanto alle dimensioni, il coefficiente di attrito, come rapporto di due forze, è un numero puro.
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b) Punto materiale attratto verso le facce di un cubo da forze perpendicolari alle facce e crescenti colla distanza.
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È questa l'annunciata regola equivalente alle (8'): da essa si ripassa alle (8'), applicandola ai tre piani coordinati.
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Basta riportarsi alle considerazioni, con cui è stata giustificata l’analoga estensione per i centri di gravità (n. 15).
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i tre momenti (principali) relativi alle mediane del rettangolo, e alla perpendicolare comune nel loro punto d’incontro;
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estesa alle varie porzioni Δ C.
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con formule analoghe relative alle altre coordinate e, più generalmente, a derivazioni ripetute. Ne segue in particolare
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le quali, quando si faccia tendere γ a zero intorno a P, tendono (n. 12) alle
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E la formula corrispondente (che si può anche stabilite, applicando lo sviluppo di Taylor alle componenti)
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63. Dalle considerazioni precedenti risulta come si possano estendere alle funzioni vettoriali i risultati formali del Calcolo differenziale.
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che, proiettate sugli assi di una terna di riferimento, danno luogo alle sei equazioni scalari
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Supponiamo, infatti, che un solido S sia sollecitato da certe forze esterne F soddisfacenti alle condizioni cardinali
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Conserviamo la Φ e, come sistema equivalente alle F e alle f (le quali ultime nel loro insieme son già equivalenti a zero) assumiamo l’unica forza R
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2° le 2n reazioni offerte dalle rotaie alle singole ruote;
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Determinare le pressioni sugli appoggi (eguali ed opposte alle reazioni normali offerte dai medesimi).
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Per eliminare codeste sollecitazioni esterne delle aste, si osservi che, senza pregiudizio dell’eventuale equilibrio, possiamo sostituire alle forze
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Come risultato riassuntivo delle considerazioni precedenti possiamo enunciare, in base alle (1*), la regola pratica seguente:
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cui bisogna associare quelle che legano x n, y n, alle l e alle e alle α. Queste due equazioni si ottengono nel modo più semplice proiettando il
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La proiezione delle (5) sull’asse y (verticale e diretto verso l’alto) dà perciò luogo alle equazioni
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Se ne renda ragione mostrando in primo luogo che le formule relative alle forti tensioni implicano
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17 . Nell’ipotesi. che forze esterne siano applicate esclusivamente alle estremità di una verga in equilibrio (F = 0), rimane costante, in base alle
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3.° e ulteriormente, per un’elica circolare, in base alle formule del Cap. I, n. 83,
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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I coefficienti arbitrari λk, μj (questi ultimi soggetti alle limitazioni μj ≥ 0) si chiamano moltiplicatori del Lagrange.
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e, appunto in base alle (20), si ha senz’altro
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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Ne viene che il complesso delle forze centrifughe non reca contributo alle equazioni cardinali, e si può quindi prescinderne.
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Cfr. per es. E. Cavalli, Elementi di meccanica applicata alle macchine (Napoli, Trani, 1908), pp. 20-23, 91-93.
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e avendo riguardo alle formule di Frenet, risulta successivamente
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È equilibrato il sistema dei vettori normali alle facce di un tetraedro, applicati nei centri delle circonferenze circoscritte a tali facce, di
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equivalente alle (13).
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Accademia della crusca
