Considereremo solo il caso dell'intervallo ( [simboli eliminati] ), e ci limiteremo ad alcune considerazioni di carattere intuitivo sull'esempio del
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(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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(1) Si potrebbe pensare che, essendo l'integrale (40) esteso ad un intervallo infinitesimo Δλ, esso si riduca ad un solo elemento, e si possa
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(1) V. bibl. n. 21. Si vedrà più oltre che tale relazione si può estendere anche ad altre coppie di grandezze fisiche.
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dunque onde regressive e corrisponde ad una particella di impulso diretto nel verso negativo. Come si vede, la degenerazione del problema in meccanica
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Supponiamo che una particella, di energia determinata E, sia soggetta ad un potenziale U(x) avente l'andamento rappresentato dalla fig. 25, e cioè
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Caratteristica di questa formula è che essa lega ogni coefficiente a quello che lo precede di due posti: così, fissato ad arbitrio , si ricavano da
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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Ha notevole interesse per le applicazioni (ad alcune delle quali si accennerà nel seguito) il problema del moto di una particella lungo una retta x
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dapprima una soluzione semplice, corrispondente ad un dato valore di E, ossia ad una sola frequenza, lasciandoci guidare dall'analogia col problema
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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e si può dimostrare che ha soluzioni finite, continue e ad un sol valore per ogni direzione, solo se,
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Riassumendo, ad ogni autovalore della (223') corrispondono autofunzioni (con ), date dalle (226), (229'), (243), cioè da
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e che per la R tenda a zero non meno rapidamente di e quindi la y tenda ad un limite finito od a zero.
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Affinchè la serie si riduca ad un polinomio (di cui indicheremo il grado con n') occorre che sia : quindi che
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Un'altra proprietà notevole dei polinomi di Laguerre, che ci limitiamo ad enunciare, è quella espressa dalla formula ricorrente
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Ricordando che, secondo la meccanica classica, la particella compirebbe delle oscillazioni tra ed con impulso + p nel moto da ad e -p nella
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indicando con l'integrale esteso ad un periodo. La condizione di quantizzazione è dunque, in questo caso, esattamente la (303') anzichè la (303).
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esteso ad un intero periodo della coordinata stessa: poichè la dipende solo dalla (per ipotesi) e dalle f costanti questo integrale sarà una funzione
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della luce: quindi la meccanica ordinaria è applicabile ad esso solo approssimativamente, ed è da attendersi che una trattazione più rigorosa, fatta
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Si giunge alla stessa conclusione ricordando dalla teoria della relatività che, se rispetto ad un certo sistema di riferimento, che diremo fisso
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È noto che conviene spesso designare un insieme di N numeri come un punto P in uno spazio a N dimensioni (riferito ad assi cartesiani numerati da 1
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(1) In tutto questo capitolo si tratterà solo di vettori uscenti dall'origine: perciò ad ogni punto corrisponde un vettore, e viceversa.
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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(i quali rappresentano tutte le funzioni esprimibili come combinazioni lineari di si dice che formano una varietà (o sottospazio) lineare ad n
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(1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito.
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si
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Se esiste l'inverso di , si possono definire le potenze di ad esponente negativo, ponendo
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completo di autofunzioni comuni ad e .
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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(1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p termini separati.
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e quindi, secondo la regola del § 22, l'operatore ad essa corrispondente è
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Fissato lo «schema», ad ogni osservabile A corrisponde una matrice hermitiana
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Con ciò le vengono ad avere la proprietà (1) Si può infatti dimostrare, servendosi delle (185) e della relazione che si ha per .
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dove designa la matrice unità ad N righe ed N colonne. Introducendo, invece di , la matrice definita da
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cosicchè, sostituendo nella precedente e risolvendo rispetto ad r, si ricava che il raggio dell'orbita n-esima, che si suol indicare con an, è
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il significato fisico di questi: ciascuno di essi corrisponde ad un diverso livello energetico dell'atomo, e quindi ad un diverso stato quantico. E
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un sistema fondamentale di autofunzioni ad esso appartenenti, ortogonali tra, loro (v. § 6, p. II). È noto che ad esso si può sostituire un
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(Si noti che, nel caso , si ha a 0 e quindi mancano gli stati corrispondenti ad i = 1, 2, 3).
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dall'urto serve interamente ad aumentare la sua energia interna, cioè a farlo passare dallo stato fondamentale ad uno stato eccitato. Ciò premesso, l'urto
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Noteremo infine che ad ogni potenziale di eccitazione o di ionizzazione corrisponde (secondo la relazione di Einstein tra energia e frequenza) una
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Tali considerazioni sono servite di base ad un enorme lavoro di interpretazione ed organizzazione di risultati sperimentali nel campo della
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corrispondente ad una data tensione e quindi ad una data velocità. Noto λ, mediante la (29) si può poi calcolare l'indice di rifrazione μ corrispondente
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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ortogonalità: si dirà dunque che: due autofunzioni della (14) soggette ad annullarsi agli estremi, ed appartenenti ad autovalori diversi, sono ortogonali.
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Tenendo conto di (20), e del fatto che w si piò considerare infinitesimo rispetto ad E, troviamo:
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Si comprende agevolmente come queste peculiarità dei sistemi contenenti particelle identiche vengano ad alterare i pesi statistici da attribuirsi ai
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a) esprimere la probabilità che un sistema, mantenuto a una data temperatura T, si trovi in un certo stato quantico (probabilità proporzionale ad e
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Accademia della crusca
