Abbiamo dunque
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Abbiamo dunque
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Designando dunque l’accelerazione, che è una determinata funzione vettoriale del tempo, con a(t), abbiamo per definizione
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Abbiamo quindi
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Riferendo la traiettoria ai suoi assi e introducendo l’anomalia eccentrica u, abbiamo
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c) Se infine il moto di trascinamento è elicoidale uniform e e l’origine O della terna mobile si assume sul relativo asse di moto, abbiamo
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Invero, designati con v 0, ω, e v 0 *, ω* codesti vettori caratteristici presi rispetto al polo O, abbiamo senz’altro per la (11)
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Per lo scopo che abbiamo in vista, è vantaggioso prendere in considerazione il moto di Φ' rispetto a Φ.
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Riassumendo, abbiamo che in conseguenza delle ipotesi fatte sulla scelta del riferimento, si ha nell’istante t, per modo che, limitatamente a codesto istante, le espressioni (25) delle componenti della accelerazione del punto P che occupa, sul piano fisso la posizione generica ξ, η assumono la forma
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Manifestamente abbiamo
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Nelle considerazioni precedenti abbiamo esplicitamente supposto che il punto P fosse distinto dal polo.
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Tenendo conto dei 2 volantini dei pedali abbiamo altri due parametri. Il grado di libertà è dunque complessivamente 9.
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Abbiamo implicitamente supposto che la bicicletta non sia a ruota libera. Vi sarebbe altrimenti un parametro di più e il grado di libertà sarebbe 10.
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Se il sistema ha un punto fisso, i parametri e quindi i gradi di libertà, si riducono evidentemente a 3, come del resto abbiamo già osservato al n. 6.
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Notiamo, infine, che la condizione di equilibrio del punto così stabilita si presenta come una generalizzazione del postulato che al n. 4 abbiamo introdotto a render possibile la misura statica delle forze.
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Se profittando della costante additiva arbitraria facciamo in modo che il potenziale si annulli in un certo punto P, del campo e designamo con P (x, y, z) un punto generico, abbiamo per la (7)
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Qui è necessario fermarsi un momento su questo importante risultato e prima ancora sulla grandezza scalare che abbiamo indicato con T.
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Concludendo, al limite per τ tendente allo zero abbiamo la rappresentazione matematica di una forza che agendo per un tempuscolo infinitesimo con intensità infinitamente grande, determina sul punto materiale sollecitato una brusca variazione finita di velocità, pur imprimendogli uno spostamento infinitesimo.
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Sin qui abbiamo ragionato nella ipotesi che fra le forze applicate figurassero i pesi; ma vi son dei casi, in cui l’azione della gravità si può risguardare o per se stessa trascurabile o quanto meno neutralizzata da altre forze, esplicantisi esclusivamente in questo effetto.
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Da queste relazioni, risolvendo rispetto a τ e a μ, abbiamo
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Al n. 40 abbiamo veduto sotto quali condizioni un sistema di vettori è equivalente ad un unico vettore; ora possiamo aggiungere che un sistema di vettori è equivalente ad un’unica coppia (eventualmente nulla) allora e solo allora che il suo risultante è nullo.
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Abbiamo visto al n. 51 che ogni sistema di vettori applicati paralleli è equivalente ad un unico vettore o ad una coppia.
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Per questo abbiamo voluto rammentarla, pur non potendo qui soffermarci ad illustrarne le conseguenze.
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Abbiamo pertanto:
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Usufruendo della (10) e badando che ρ ed r non dipendono dalla posizione di Q su σ, e possono quindi essere portati fuori del segno integrale, abbiamo
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Dal triangolo OPQ abbiamo:
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Nei tre primi addendi abbiamo rispettivamente il potenziale puntiforme e le correzioni di primo e secondo ordine. Troviamone le espressioni esplicite in base alle (20) e (21).
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Abbiamo così un vettore funzione dei punti di una linea; ma tale nozione non differisce sostanzialmente da quella di vettore funzione di un parametro, data precedentemente.
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Abbiamo pertanto il teorema :
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Viceversa, se si suppongono soddisfatte le condizioni dell’enunciato, abbiamo anzitutto la relazione di equivalenza
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Di queste trasmissioni di forze mediante fili abbiamo già usufruito in più esempi concreti (e in circostanze meno semplici), anticipando alcune leggi, almeno in via di approssimazione (Cap. VII, § 2).
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Abbiamo in conclusione il risultato: Un filo flessibile e inestendibile (sollecitato da forze in punti discreti) si comporta, quanto all’equilibrio, come un sistema articolato di aste rigide, coll’unica restrizione in più che gli sforzi non possono essere indifferentemente pressioni o tensioni, ma esclusivamente tensioni.
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Riprendendo le notazioni del n. 12, abbiamo nel caso presente due circostanze semplificatrici: ogni p i è eguale a P', e sono pure eguali tra loro e ad ε le proiezioni orizzontali,
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Per determinare codeste quattro incognite, abbiamo le quattro equazioni (16'), (18), di cui le prime tre sono del secondo ordine (nelle x, z) e la quarta è del primo; ed è facile fare il computo delle costanti arbitrarie, da cui dipende l’integrale generale.
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. - Al n. 16 abbiamo studiato la configurazione di equilibrio delle gomene sostentatrici dei ponti sospesi, adottando l’ipotesi più direttamente suggerita dalle circostanze di fatto, cioè supponendo che il peso del ponte si ripartisse in un numero discreto di punti (punti di attacco dei tiranti), gravando egualmente su ciascuno di essi. In base a tale ipotesi, abbiamo trovato, come configurazione di equilibrio di ciascuna gomena sostentatrice, una poligonale, iscritta in una parabola ad asse verticale, passante per gli estremi.
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Il problema, posto in questo modo, si discute anche più comodamente di quanto abbiamo potuto fare al n. 16 nella ipotesi di una sollecitazione discreta; e si arriva ad una formula, particolarmente semplice, di uso corrente nella tecnica.
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Abbiamo già supposto (n. 73) che si tratti non di una retta, ma di una effettiva curva, ossia che t non sia costante. È quindi da escludere che, per la l che si considera, sia dovunque
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che abbiamo indicato con 2p,
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che abbiamo già ottenuto direttamente al n. 31.
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Se indichiamo con k la il cui valore assoluto (rapporto fra l’angolo di contingenza e il corrispondente arco elementare) è la curvatura c della linea nel punto considerato, abbiamo
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Se dunque, come abbiamo accennato, si verifica l’identità formale delle definitive condizioni di equilibrio (fornite, per i vari casi, dai due metodi), si può senz’altro inferirne la loro coincidenza completa, risguardandovi ciascuna volta implicate le sole forze attive di origine esterna.
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Abbiamo così nelle (19) le espressioni di infinite sollecitazioni equilibranti pel nostro sistema.
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Nei capitoli precedenti abbiamo studiato le condizioni di equilibrio di varie specie di sistemi materiali, riferendoci ad una terna di assi fissi, o risguardati fissi (nel senso che si attribuisce in Meccanica a tale qualifica).
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Per altro non è inutile di rendersene conto anche in altro modo riportandosi ai criteri più elementari e particolari (sebbene per qualche rispetto più pratici, perchè non escludono a priori gli attriti) che abbiamo seguito nei Cap. IX, XIII e XIV per stabilire le condizioni di equilibrio assoluto spettanti ad ognuna delle categorie di sistemi ivi considerati. Abbiamo allora proceduto come segue:
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Abbiamo chiamato Γ 1, Γ 2 i momenti rispetto ad O delle due prime coppie; quello della coppia peso-reazione è in valore assoluto (poiché la linea d’azione del peso passa per O, e quella della reazione è la verticale di P)
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Supposto per es. che sia T la tensione maggiore, abbiamo trovato allora che, quando l’equilibrio sussiste, dev’essere
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Il momento risultante delle prime è un dato della questione e lo abbiamo indicato con γ.
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Noi le abbiamo infatti determinate, combinando le due equazioni
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La condizione di aderenza della cinghia con C l era compresa in a), ma, nella discussione, non ne abbiamo tenuto conto. Ciò è giustificato dal fatto che, esclusi gli scorrimenti su C, rimangono praticamente esclusi anche quelli su C l.
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Sin qui non abbiamo fatta alcuna ipotesi sul segno di v. Ora dalla
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Accademia della crusca
