Quando l'elettrone si muove in una regione dello spazio in cui si abbia simultaneamente un campo elettrico E e un campo magnetico H, la forza che agisce su di esso è la somma vettoriale delle due forze F′ e F″ dovute ai due campi; e cioè
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Invece si ritiene che nei metalli si abbia un certo numero di elettroni liberi di muoversi, i quali possono in qualche modo assimilarsi a un gas di elettroni che permea gl'interstizî della struttura atomica del metallo. Sotto l'azione d'un campo elettrico, questi elettroni si spostano nella direzione della forza che il campo esercita su di essi, originando così il passaggio della corrente elettrica.
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Il problema delle autofunzioni, enunciato pel caso di due variabili, è il seguente: data una regione S del piano limitata da un contorno , determinare una u (x, y) che entro S soddisfi la (89) e che sul contorno si annulli, o abbia la derivata normale nulla.
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Riprendiamo perciò l'esempio di un «pacchetto di luce» S come quello considerato ai §§ 15 e 19: supposto che la sorgente abbia emesso un solo fotone, potremo dire con certezza che esso si trova nell'interno della regione S, costituente il pacchetto (determinabile con le leggi dell'ottica ondulatoria), cioè, pur non avendo senso parlare delle esatte coordinate del fotone, potremo assegnare a queste dei limiti tanto più ristretti quanto più piccolo è il pacchetto.
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D'altra parte, non si può dire in quale istante dell'intervallo la particella abbia ricevuto l'impulso che ha mutato la in vx: perciò sulla x della particella resta, dopo la misura, una incertezza uguale a
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È evidente poi che rappresenta la probabilità che la particella abbia l'energia e l'impulso , e la probabilità dell'energia e dell'impulso .
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II della parte III, dalle condizioni iniziali, e in particolare dalle osservazioni a cui è stato inizialmente sottoposto il sistema. della particella in cui l'energia e l'impulso non sono determinati: la probabilità che l'energia abbia il valore E n e l'impulso sia quello corrispondente alle onde è, per quanto si è detto sopra, I .
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il che basta che la v non abbia ivi singolarità essenziali.
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(1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito.
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito. ;
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L'ipotesi che la luce abbia natura corpuscolare (che cioè sia composta di corpuscoli nel senso intuitivo della parola) mentre sembra quasi imposta dai fenomeni di cui abbiamo parlato nei §§ precedenti, incontra però gravissime difficoltà in un'altra non meno vasta categoria di fenomeni, e cioè in tutti quei fenomeni che hanno costituito, da HUYGHENS in
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(1) "Distinte" vuol dire che supponiamo che ogni particella abbia una propria individualità, che cioè si possa distinguere dalle altre: se si trattasse di particelle identiche (p. es., elettroni) si dovrebbero fare altre considerazioni, che rimandiamo al cap. VI.
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La forma data nel § prec. al problema di Schrödinger per una sola particella suggerisce, per ovvia generalizzazione, il modo di trattare il problema più generale di quante si vogliano particelle distinte (1) "Distinte" vuol dire che supponiamo che ogni particella abbia una propria individualità, che cioè si possa distinguere dalle altre: se si trattasse di particelle identiche (p. es., elettroni) si dovrebbero fare altre considerazioni, che rimandiamo al cap. VI. .
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II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la particella di dati y e z abbia una componente x dell' impulso compresa fra e : lasciando ora del tutto indeterminati y e z si ottiene evidentemente per la probabilità di una compresa tra e proprio il valore (102).
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Questa è evidentemente periodica in a periodo : ma affinchè abbia un sol valore in ogni punto dello spazio, essa deve essere periodica in a periodo : quindi dovrà aversi con m intero, ossia
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. , che vi sia un solo valore con probabilità 1, e tutti gli altri abbiano probabilità 0; cioè che l'osservabile abbia al tempo un valore determinato: in tal caso evidentemente la meccanica quantistica permette di calcolare tale valore, partendo dai dati iniziali (risultati dell'osservazione massima), senza alcuna indeterminazione.
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Come applicazione, supponiamo che un'osservazione dello spin rispetto a una certa direzione n, di coseni , abbia dato il risultato + 1, e supponiamo che subito dopo si esegua un'osservazione dello spin rispetto all'asse z: quale è la probabilità di trovare + 1 e quale è quella di trovare —l? Lo stato risultante dalla prima osservazione sarà definito da una tale che (v. § 22):
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Affinchè il secondo membro abbia effettivamente la forma di una divergenza, basta imporre alle matrici le condizioni
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Si abbia un sistema costituito di due particelle uguali (immerse in un campo assegnato) e indichiamo brevemente
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Prendiamo uno dei piani reticolari che si possono tracciare entro il cristallo, formante p. es. un angolo φ con la superficie : è noto dalla teoria di Bragg che esso, e tutti i piani reticolari ad esso paralleli, si comportano come superficie parzialmente riflettenti, ma in genere le onde piane da essi riflesse interferiscono distruggendosi mutuamente, tranne il caso che la lunghezza d'onda λ' abbia un valore tale che sia verificata la relazione di Bragg
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Supposto ora che λ abbia uno di questi valori, per i quali avviene la riflessione, ricerchiamo la direzione in cui si propagheranno all'esterno del cristallo le onde riflesse. Uscendo, esse subiscono una rifrazione, e quindi il raggio emergente (normale alle onde emergenti) forma con la normale alla superficie un angolo θ dato da
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Così, in particolare, in ogni atto di moto rotatorio il centro istantaneo di rotazione è caratterizzato sul piano mobile come l’unico punto I che abbia velocità nulla; mentre ben sappiamo che in ogni atto di moto traslatorio tutti i punti del piano mobile hanno velocità equipollenti.
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b) Se AH è rettilineo, si ha ancora (n. 40) nel profilo coniugato un arco di epicicloide; e si può d' altra parte scegliere la costa epicicloidale HB in modo che l'ipocicloide coniugata divenga essa pure rettilinea: basta che la rulletta spettante ad HB abbia per raggio ½ρ (ρ raggio della circonferenza primitiva della ruota di cui si tratta).
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., supponendo che il piano, su cui essa deve rotolare senza strisciare, si muova comunque nello spazio, mantenendosi beninteso rigido; ed anzi, per semplicità, riferiamoci al caso in cui il moto del piano sia traslatorio ed abbia una data velocità τ di componenti τ1, τ2, τ3, rispetto ai soliti assi ξ, η, ζ. Usando ancora le rotazioni del n. prec., avremo che il centro O della sfera, dovendosi mantenere alla distanza r dal piano di appoggio, avrà la terza coordinata γ non più costantemente uguale ad R, bensì data da
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Notiamo infine che in base alla (5) dovrà dirsi di massa 1 ogni corpuscolo, il cui peso in un dato luogo abbia lo stesso valore della locale accelerazione g della gravità. Ove si assuma per g il valore di 9,80m/sec2, si ha dalla (5) la formula approssimata
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Dalle equazioni (4) e (6) dei nn. 14, 15 risulta che per l’equilibrio di un punto, vale a dire perché esso abbia un’accelerazione costantemente nulla, occorre e basta che si annulli la forza attiva, se si tratta di un punto libero, la risultante della forza attiva e della reazione, se si tratta di un punto vincolato. In quest’ultimo caso, si può anche dire che la condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio si è che la forza attiva sia direttamente opposta alla reazione.
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Ma si può invece immaginare che una forza F, agendo per un brevissimo intervallo di tempo τ compreso fra gli stanti t 0 e t 1, assuma in esso intensità grandissime, per modo che l’impulso della forza in quel pur brevissimo intervallo di tempo abbia un valore assoluto finito e determinato.
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Unità di velocità è a dirsi in particolare ogni velocità, che abbia 1 per misura: come rappresentante tipica (che fa riscontro al quadrato e al cubo di lato l) può assumersi la velocità di un mobile, che è animato di moto uniforme e percorre l’unità di spazio nell’unità di tempo.
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Naturalmente perché la questione abbia un senso, bisogna anzitutto fissar bene che cosa debba intendersi per questa uguaglianza di funzionamento. Attesa la ammessa identità di tipo fra le macchine di ω, e di ω, appare ragionevole il dire che esse funzionano nello stesso modo quando consumano, a parità di tempo, quantità di carbone proporzionali alle capacità dei rispettivi forni, cioè aventi il rapporto λ3.
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. - Dal n. prec. risulta che per l’equilibrio di un punto materiale P di peso p, appoggiato su di un suolo orizzontale e sollecitato da una trazione orizzontale di intensità τ, occorre e basta che τ non superi la trazione limite, ossia che, indicando con f il coefficiente di attrito fra le sostanze costitutive del punto e del suolo, si abbia
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Nel § prec. abbiamo sempre supposto che il vincolo unilaterale (o ciascuno dei vincoli unilaterali) a cui si immaginava soggetto un punto materiale P, fosse determinato dall’appoggio alla superficie di corpo fisicamente dato; ma in pratica un vincolo unilaterale di codesto tipo può essere realizzato anche in altri modi: p. es. un punto P, collegato ad un punto fisso O mediante un filo flessibile o inestendibile di data lunghezza l, può muoversi soltanto all’interno o sulla superficie della sfera di centro O e di raggio l (per quanto questa non abbia una esistenza materiale.
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I risultati precedenti, sotto opportune condizioni, si estendono anche al caso in cui la f (Q|λ) abbia entro S per un certo valore λ0 di λ un punto P di infinito.
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Se poi l'unico appoggio P presenta attrito, basta per l'equilibrio che la componente normale della reazione abbia il valore or ora determinato: quella tangenziale, in quanto ha in ogni caso momento nullo rispetto ad a, resta indeterminata sotto la sola condizione che essa non faccia uscire la reazione totale dalla falda esterna del cono di attrito.
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È particolarmente interessante (anche in vista di problemi concreti che trovano qui la loro rappresentazione schematica) il caso di un solido pesante S, che si appoggi, nel modo indicato dianzi, su di un piano orizzontale, abbia il baricentro sostenuto e sia soggetto, oltre che al proprio peso, esclusivamente ad una trazione orizzontale che tenda a ribaltarlo.
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Supponiamo tale condizione soddisfatta e indichiamo un criterio, che permette di togliere l'indeterminazione, quando si abbia riguardo alle piccole deformazioni del suolo, pur seguitando a supporre che il corpo sia perfettamente rigido.
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. - Come ulteriore applicazione delle osservazioni del n. 47, consideriamo una verga AB, che allo stato di equilibrio naturale, cioè in assenza di ogni sollecitazione attiva, abbia una configurazione piana; e immaginiamo che essa abbia raggiunto uno stato di equilibrio forzato sotto una data sollecitazione esclusivamente terminale e simmetrica rispetto al suo piano, cioè, precisamente, sotto l'azione, agli estremi A e B,di due forze F A ed F B giacenti nel piano di figura, e di due momenti (flettenti) M A ed M B, perpendicolari a codesto piano.
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Riferendoci al solito sistema di N punti Pi, soggetti a vincoli privi di attrito e indipendenti dal tempo e alla sollecitazione di date forze direttamente applicate Fi, supponiamo per un momento che le intensità Fi di queste siano fra loro commensurabili e si abbia precisamente
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D’altra parte, come è ben noto dal Calcolo, perché una funzione abbia un massimo od un minimo, si richiede non soltanto che si annulli il suo differenziale primo (per il sistema di valori, cui il massimo o minimo si riferisce), ma che inoltre sia soddisfatta una condizione supplementare concernente il differenziale secondo. Nel caso dell’equilibrio di un sistema pesante, si trova bensì soddisfatta per la funzione z 0 la condizione di annullamento del differenziale primo (δz 0 = 0), ma nulla si sa del differenziale secondo.
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Notiamo che la condizione più restrittiva che la z 0 abbia un effettivo minimo, che cioè il baricentro si trovi nella posizione più bassa consentitagli dai legami, assicura insieme il sussistere dell’equilibrio e la stabilità del medesimo. In tal caso si può infatti asserire che, per ogni spostamento abbastanza piccolo del sistema, compatibile coi vincoli, il baricentro si innalza. Ne consegue che, nel tornare alla posizione di equilibrio, le forze attive (che qui si riducono al peso dei singoli elementi) fanno complessivamente lavoro positivo.
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Sotto questa ipotesi, perché sussista l'equilibrio occorre e basta, per l’equazione simbolica della Statica, che si abbia
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., n) si abbia
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Si abbia un unico punto materiale P, vincolato a non uscire da un certo angoloide convesso ad s facce, di vertice O, e si vogliano discutere le condizioni di equilibrio nella posizione O, che è manifestamente di confine per tutti i vincoli.
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talché la B 1 = 0 abbia la forma
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Dacché si parte dalla quiete, l'appoggio avrà luogo in B; d’altra parte, affinché possa cominciare lo scorrimento del mozzo rispetto all’asse, è d’uopo che la reazione d’appoggio R 2 abbia una componente tangenziale eguale almeno a ptgφ.
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Proiettando la (20) sugli assi x, y, definiti al n. 35, e cambiando segno ai due membri, ove si noti che le componenti di g sono - g cosγ, - g sinγ e si abbia riguardo alle (18) e (19), si ottiene
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Si riconosce, dalla formula (I), che si verificherà quando si abbia:
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abbia lo stesso valore. E ciò significa che la grandezza precedente non dipende dalle particolarità speciali dei singoli sistemi, ma è funzione unicamente della temperatura T comune a tutti i sistemi in contatto. Possiamo dunque scrivere, per ogni sistema contenente un grande numero di molecole,
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Da quanto si è detto risulta infatti che ω (E) si piò ritenere proporzionale alla probabilità che il sistema abbia energia E. Integrando la (20), si ricava d'altra parte:
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a) Si abbia un numero molto grande N di sistemi quasi-ergodici, tutti identici e del tutto indipendenti uno dall'altro. Lo stato di ciascuno di questi sistemi sarà rappresentato da un punto dello spazio delle fasi. Al variare del tempo ogni punto rappresentativo si muove su una superficie di energia costante, descrivendola tutta densamente. Supponiamo ora che le energie degli N sistemi siano ripartite uniformemente in uno strettissimo intervallo di energia da E ad E + ΔE. Per conseguenza i punti rappresentativi saranno tutti contenuti nella intercapedine tra le due ipersuperficie
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Possiamo chiarire la situazione con un esempio particolarmente semplice: si abbia un sistema contenente due particelle identiche, ciascuna suscettibile di occupare due stati quantici 1,2. Siano N 1 ed N 2 i numeri di occupazione dei due stati; essi potranno a priori avere i valori
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Accademia della crusca
