Da ciò si comprende, che ogni volta, che λ, crescendo, passa per uno degli autovalori, un nuovo nodo entra nell'intervallo AB. Indicando con λ1, λ2, ... gli autovalori (che supponiamo semplici) in ordine crescente, finchè non vi sono nodi entro l'intervallo AB, per , vi è un nodo, per ve ne sono due, e così via. In particolare: l'autofunzione yn ha n-1 nodi entro l'intervallo AB, senza contare i due agli estremi, o, in forma più espressiva: i nodi della autofunzione yn dividono l'intervallo AB in n tratti.
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Questi risultati si potevano prevedere intuitivamente osservando che le condizioni (β) impongono alla sinusoide di avere la stessa ordinata e la stessa inclinazione in A ed in B (e quindi l'intervallo AB deve essere un multiplo della lunghezza d'onda donde la (28)) ma resta arbitraria la fase θ della sinusoide in A.
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Esaminiamo ora la validità del ragionamento seguente: se in A è una sorgente luminosa che compie un atto elementare di emissione, e in B è una particella che compie un atto elementare di assorbimento, sembra di poter affermare che il quanto emesso da A ha percorso il segmento di retta AB fino a giungere in B dove è stato assorbito. Ma se cerchiamo un mezzo qualunque per controllare questa affermazione, ci accorgiamo subito della sua inconsistenza.
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Infatti, per dare valore a tale affermazione, bisognerebbe che, ponendo tra A e B un tramezzo opaco con un foro sottile, si constatasse che la particella B riceve il quanto solo se il foro si trova sulla retta AB: invece è ben noto che un foro sottile dà luogo a fenomeni di diffrazione in virtù dei quali, se esso si trova sulla retta AB, può avvenire che la particella B non riceva luce, e viceversa può darsi che essa la riceva anche se il forellino si trova fuori della retta AB.
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. — Se un fascio parallelo di particelle (p. es. raggi catodici) viene lanciato perpendicolarmente contro uno schermo AB (fig.23) munito di una fessura di larghezza d, ogni volta che una particella passa attraverso la fessura si può dire che si è determinata la sua coordinata y ( supposto che l'asse y sia posto trasversalmente alla fessura) con una incertezza
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. § 39) e, per un valore qualunque di E, consideriamo una curva u(tratteggiata) rappresentante una soluzione che verso sinistra tende asintoticamente all'asse x: essa si scosterà dall'asse x, volgendogli la convessità, fino al punto A, poi inizierà una serie di oscillazioni entro il tratto AB, per riprendere, a destra di B, l'andamento non oscillatorio che la porta in generale a scostarsi indefinitamente dall'asse x. Solo se E ha uno dei valori En (autovalori), avviene che la curva torni ad adagiarsi sull'asse x anche verso destra, ed essa rappresenta allora un'autofunzione (curva piena).
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Mostriamo ora un primo esempio di quantizzazione col metodo di Schrödinger, considerando una particella che possa scorrere (senza forze) su un tratto limitato di retta AB, rimbalzando elasticamente agli estremi. Ricerchiamo anche qui, innanzi tutto, le soluzioni semplici (cioè con E determinato).
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L'equazione di Schrödinger sarà ancora la (148), ma con la condizione che fuori del segmento AB la si annulli (essendo per ipotesi nulla la probabilità di trovare ivi la particella).
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Con ciò il k' della (177) tende a e quindi l'esponenziale della fig. 26 discende a zero immediatamente oltre il gradino: si può quindi fissare l'attenzione solo all'andamento della nel tratto AB, imponendo la condizione che essa debba annullarsi agli estremi.
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e presenta quindi dei nodi che dividono AB in n tratti uguali.
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Ha notevole interesse per le applicazioni (ad alcune delle quali si accennerà nel seguito) il problema del moto di una particella lungo una retta x, sotto l'azione di un potenziale nullo dappertutto, tranne che in un certo intervallo AB, entro il quale esso cresce fino ad un massimo e poi decresce fino a 0: andamento qualitativamente rappresentato dalla fig. 30. La zona AB costituisce ciò che chiamasi una barriera di potenziale: una particella che provenga p. es. da sinistra trova forza nulla fino ad A, poi incontra una forza ritardatrice da A a C', indi forza acceleratrice da C' a B, e poi di nuovo forza nulla.
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Supporremo che l'energia potenziale U abbia un andamento del tipo della fig. 42 , cosicchè vi sia una sola regione AB (regione II da a )in cui p è reale, mentre nelle altre due regioni (I e III) è immaginaria a coefficiente positivo: classicamente, la particella eseguirebbe delle oscillazioni tra Ae B.
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Accademia della crusca
