, determinare una u (x, y) che entro S soddisfi la (89) e che sul contorno si annulli, o abbia la derivata normale nulla.
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delle variabili: esso consiste nel cercare una soluzione u (x, y) che sia il prodotto di una funzione X della sola x per una funzione Ydella sola y
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funzione di x, y, z soltanto attraverso U, era del resto prevedibile). Osserviamo che, poichè in generale l'indice di rifrazione delle onde di De Broglie
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intendiamo che nella U, nella ed in tutte le altre quantità che eventualmente interverranno, figura (oltre t) una sola delle coordinate spaziali, p
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Si osservi infatti anzitutto che nelle regioni dove la u e la hanno segno opposto, e quindi la curva rappresentante la u è in tali regioni sempre
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o per : poichè si richiede invece che la u sia dovunque finita, ne concludiamo che , cosicchè nella espressione di X gli esponenti divengono
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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potenziale U si aggiunge quella derivante dal secondo termine della (253), la quale trova il suo analogo nella forza centrifuga della meccanica
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caso in cui questo è della forma , si riduce a , si ottiene per la u la seguente equazione differenziale:
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Ricordiamo anzitutto (v. form. 248) che negli stati in cui l = 0 (stati s) la u non dipende da e da , ma solo da r: si ha dunque una nuvola a
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(preso in valore assoluto) della particella al suo passaggio nel punto x: dove U>E la p risulta immaginaria, e questo indica, secondo la meccanica classica
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regione II, attraverso il punto critico B: il collegamento può farsi con lo stesso metodo seguito per il punto A e si trova che la u, nella regione II
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quella potenziale è . Per calcolare l'energia totale E=T + U conviene (poichè essa è costante) riferirsi ad un istante particolare del moto, scelto
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caso il potenziale U, espresso in coordinate polari, deve risultare indipendente da , e quindi l'hamiltoniano non contiene ed è perciò permutabile con
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e poichè è un operatore che non coinvolge r, esso è sempre permutabile coi primi due termini di questa espressione: se poi la forza è centrale, U è
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In tutte le considerazioni fatte fin qui si sono trattate solo particelle soggette a forze derivanti da un potenziale U: il caso, fisicamente assai
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derivano da un potenziale u(q), sarà (ricordando che
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sempre una soluzione della forma , con la u reale (v. pag. 173): si ottiene allora
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L'equazione di Dirac ammette (come si è visto al § 54 per il caso particolare di onde piane e U = 0) accanto ad ogni soluzione rappresentante uno
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cinetica ordinaria o «forza viva» T: si ha . L' energia totale sarà poi indicata, al solito, con W. Nel caso del § 54 si era assunto U = 0 e perciò .
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Già designammo al n. prec. con p, q, r, le componenti di ω; se indichiamo con u, v, w quelle di v 0 , la (25) proiettata sugli assi mobili dà luogo
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e immaginiamo applicati in un medesimo punto O i vettori u, v 1 e v 2, sarà rappresentato dalla diagonale uscente da O del parallelogramma di v 1 e v
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formalmente significa che si risguardano note in funzione di t le rispettive componenti u,v, w, e p, q, r.
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un generico vettore u fisso, cioè solidale colla terna Ωξηζ; giacché poi non si avrà che da far coincidere codesto vettore successivamente coi tre
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tale sia anche il versore u da determinarsi, basta procurarsi un’unica soluzione (complessa) λ della equazione di Riccati (25'), scegliendo poi come
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o caratteristiche u,v, w, e p, q, r che tutte ammetteremo univalenti, continue, e derivabili.
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Ora la velocità v 0 di O ha per ipotesi rispetto ad Oxyx, le componenti u, v, w, che son date in termini di t. D’altra parte le sue componenti
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onde si desume (n. 25) che M, è positivo o negativo secondo che la terna u, A-P e v è destrorsa, o sinistrorsa, cioè secondo che v è destrorso o
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una funzione U di P, ossia delle sue coordinate x, y,
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iniziale, si ha per la (11); in quanto il potenziale U si mantiene costante sulla superficie equipotenziale,
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quindi di U = kζ, in un altro punto P qualsiasi può immaginarsi dedotto per continuità da ζ0 andando, lungo una linea qualsiasi, da P a P. Con ciò, in
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ed è facile dimostrare che la F deriva appunto dal potenziale U. A tale scopo si osservi che, fissato un qualsiasi spostamento elementare dP che
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Questa conclusione diviene particolarmente espressiva nel caso delle forze conservatine. L’energia -L non è altro che il potenziale U cambiato di
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esclude l’attrito, la reazione stessa è tutta diretta secondo la normale alla superficie, cioè perpendicolare al piano tangente σ u in M.
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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) presentano le derivate della U, di qualsivoglia ordine; in particolare le derivate prime, ossia le componenti dell’attrazione; ciò che è del resto
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che è, come si vede, una equazione alle derivate parziali del secondo ordine, cui soddisfa un qualsiasi potenziale newtoniano U (x, y, z) in ogni
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Le cose vanno insomma come se U fosse somma di un numero finito di termini, nel qual caso vale la regola elementare che la derivata della somma non è
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numero finito di masse potenzianti) date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione
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nel fatto che la funzione sotto il segno nella espressione di U, non si conserva incondizionatamente finita in tutto il campo di integrazione, ma
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13. Se in secondo luogo prendiamo a considerare il potenziale U di una distribuzione superficiale di materia, riconosciamo come pocanzi, che, in
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17. Ricordando (n. 14) che le componenti dell’attrazione newtoniana altro non sono che le derivate del potenziale U, dobbiamo inferirne, nel caso
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Quanto ad U 2 ne conosciamo (n. 22) l'espressione per ogni punto esterno alla crosta K 2, la quale, per la sua continuità, resterà valida anche sul
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Di qua [come del resto anche dalla (20')] si rileva che la correzione di prim’ordine U 1 è identicamente nulla se O cade nel baricentro, se cioè si
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34. Consideriamo, per esempio, la Poiché U* dipende da x pel tramite di ρ, ε, γ e i limiti di integrazione (così quelli di spazio, come quelli
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unitarie conservative. Se U (x, y, z) è il potenziale della F, si ha, per qualsiasi spostamento elementare dP,
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d P i degli N punti del sistema. Per semplicità di notazione, designeremo codesti primi membri delle (15), (16) rispettivamente con B k, U i; cioè
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unilaterale, p. es. da U 1 ≤ 0; e si trova che essa è data da - μ1 a 1.i.
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38. Avendo riconosciuto ai vettori - λk a k.i, - μk a k.i il carattere di reazioni esercitate sul generico punto P i dai singoli legami, B k = 0 e U
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- λk a k.i, - μk a k.i, che nei vari punti P i provengono da un determinato vincolo (B k = 0 o, rispettivamente, U j ≤ 0) si riduce alla
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Accademia della crusca
