Si verifica poi immediatamente il teorema di ortogonalità poichè, per , si ha
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Solo quando V = O, cioè quando non vi è dispersione, si ha V = V(k0).
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L'equazione si dirà autoaggiunta se ha la forma seguente (analoga alla (12))
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Siccome poi n, nel caso più favorevole, ha il valore 1, si ritrovano le relazioni (94').
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(prendendo la normale diretta verso l'interno). Trasformando l'integrale di volume in uno di superficie si ha
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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Il sistema ha quindi livelli energetici discreti, in tripla infinità, caratterizzati dai tre numeri quantici
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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Sostituendo nella (27), e ricordando che le y sono ortogonali e normalizzate, si ha
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(1) È superfluo avvertire che l'apice qui (e in tutto questo §) non ha il significato di derivazione.
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Infatti, dalla (49) si ha, ponendo al posto di g (vettore arbitrario) ,
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Se ora per v si sostituisce l'espressione ricavata dalla (7), si ha, con facili trasformazioni
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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Questa equazione ha per autovalore qualunque valore di , e dà, con immediata integrazione,
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Sostituendo la derivata di con la sua espressione (87) si ha (ricordando la (5')):
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(indicando con Fi le componenti della forza). Se tra queste si elimina pi si ha
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(1) Si può infatti dimostrare, servendosi delle (185) e della relazione che si ha per .
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Moltiplichiamo ora (a destra) la seconda per e la terza per , e sommiamole: si ha
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e imponiamo a ciascuna di esse di essere anticommutativa con : si ha, per la (241),
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Se si considera trascurabile il primo termine a causa del fattore , si ha l'approssimazione non relativistica
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e, ricordando che per la soluzione di cui ci occupiamo si ha j = / 1/2,
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P. es. si ha (in m/sec2, previa riduzione al livello del mare):
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mentre per la velocità e l'accelerazione si ha, in base alle prime delle (39) e (40)
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Infine se h > 0, k = 0 (la h 2 > k è implicitamente soddisfatta) si ha
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Se con una traslazione degli assi si trasporta l’origine nel fuoco (centro del moto) si ha
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particolare, se, ad un dato istante, un punto P 1, ha velocità nulla, ogni altro punto P 2 ha in quello stesso istante, velocità normale alla P 1, P 2
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applicata per si ha, in quanto ω x ω = ω2 ed ω e P - Q sono ortogonali,
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Ora la velocità v 0 di O ha per ipotesi rispetto ad Oxyx, le componenti u, v, w, che son date in termini di t. D’altra parte le sue componenti
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6. In una precessione regolare (cfr. nn. 15-18) si ha in ogni caso
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paralleli ad un medesimo piano, oppure qualcuno di essi tenda ad annullarsi. Il volume del relativo parallelepipedo ha sempre per limite zero, e si ha in
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La distinzione ha quindi carattere intrinseco solo quando la rulletta è interna alla base (non viceversa).
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Per β = π, si ha la lunghezza di un cappio o arco completo, che è
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34. Trinomio invariante. Dalla (29) e dalla proprietà distributiva del prodotto scalare si ha:
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validità della equazione dinamica (4) rispetto alle stelle fisse ; mentre, per contrapposto, il riferimento terrestre, che pur ha servito per scoprirla, si
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in particolare, per uno spostamento infinitesimo dP, si ha il lavoro infinitesimo o elementare
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Dopo ciò, è chiaro che si ha, per un generico volume V:
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Il sistema formato dal vettore R applicato in P e dalla coppia C è appunto equivalente al sistema dato. Infatti esso pure ha per risultante R e per
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Rispetto ad un generico sistema di coordinate coll’origine in O, si ha
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Designando con x, y le cordinate di A si ha, per il primo di questi volumi,
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Infatti, ove il piano di simmetria si prenda per piano z = 0, si ha
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33. Per un toro (r raggio medio, r raggio del cerchio generatore) si ha
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e vale la cosidetta regola di derivazione sotto il segno, in quanto si ha che
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60 . Dal fatto che, quando Δt converge a zero, ha per limite segue che la differenza
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il suo momento polare [Cap. prec., n. 14) rispetto ad O, si ha immediatamente dalla (21)
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In questo caso, detto v 0, il valore della densità nel punto O, si ha
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2° per un segmento sferico ad una base, si ha, nel polo,
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derivando e notando che, in virtù della (40), è nullo il prodotto scalare si ha
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Eseguendo la derivazione, e avendo riguardo all’ultima, delle formule del Frenet , si ha
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38. Secondo approssimazione. - Quando si tien conto di χ, si ha l’equazione vettoriale
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40. Dalle (20') si ha ancora, moltiplicando la prima per sinγ, la seconda per cosγ e sottraendo,
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Accademia della crusca
