Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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una fessura di larghezza d, ogni volta che una particella passa attraverso la fessura si può dire che si è determinata la sua coordinata y ( supposto
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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e le potenze superiori, e così via: ciò suggerisce il tentativo di cercare per y una espressione approssimata Y, della forma
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dove ,... sono funzioni di x che si determinano formalmente sostituendo la Y nella (294) in luogo di y ed uguagliando nei due membri i coefficienti
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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Sostituendo nella (27), e ricordando che le y sono ortogonali e normalizzate, si ha
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Supponiamo che, dopo essere passati dal riferimento y al riferimento mediante la matrice , si passi ad un terzo riferimento (completo e ortogonale
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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e quindi la (97') si trasforma nell'integrale seguente (dove scriviamo y in luogo di ):
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corrispondenti a una particella di dati y e z (caso unidimensionale, v. § 36, p. II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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c 1 x + c 2 y + c 3 z = 0.
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È poi facile determinare l’espressione del prodotto v 1 x v 2 per mezzo delle componenti X 1, Y 1, Z 1 e X 2, Y 2, Z 2 di v 1 e v 2 secondo le
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dove le x, y, z, denotano precisamente le funzioni (1). Notiamo che quest’equazione si ridurrebbe alla (5) del n. 4 del Cap. prec., se il punto P
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Ciò posto, se il vettore v si immagina applicato in O, il rispettivo estremo libero P si muoverà, generalmente, rispetto ad entrambe le terne Ox 1 y
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coordinata generica Oxy x) per mezzo delle componenti X, Y, Z, ed X 2, Y 2, Z 2 dei vettori fattori.
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x = a cos Θ, y = b sin Θ,
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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x≥0, y≥0, z≥0
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Se φ (x, y, z) = 0 è l’equazione di σ, le due regioni in cui essa divide lo spazio sono rispettivamente caratterizzate dalle due disuguaglianze φ 0 e
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il che porge per x e y i valori costanti
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nelle due funzioni incognite x, y dell’unica variabile z.
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Immaginando sostituite alle coordinate x, y, z le così dette coordinate cilindriche ρ, ζ, z, essendo ρ e ζ nient’altro che coordinate polari rispetto
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(8) Lp 0 P = (x, y, z);
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L P 0 P = U (x, y, z),
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X = -ky, Y = -k x, Z = 0
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costantemente nel séguito, supporremo destrorsa (o levogira), cioè tale che, quando l’asse orientato x va a sovrapporsi all’asse orientato y descrivendo
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Osserviamo che la (6) per μ, costante (cioè indipendente da x, y, z) dà
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asse delle y, la direzione positiva essendo quella rivolta verso l'arco. La seconda delle (12') dà allora, per y 0, che nel caso attuale è OG,
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’integrazione l’angolo Θ, che un generico raggio OP forma con l’asse y contato positivamente nel verso da y verso x.
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Designando con x, y le cordinate di A si ha, per il primo di questi volumi,
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e poiché (componente di P i - O secondo r) vale x iα+ y iβ + z iγ, avremo
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, 1, 0; 0, 0, 1) sono i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati. Gli altri tre coefficienti A' = Σi m i y i z i, B' Σi m i y i z i, C' = Σi m
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dove le integrazioni rispetto ad x, y, z vanno ordinatamente estese tra
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con analoghe formule per le variabili y e z. Sommando le tre derivate seconde e tenendo conto che
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Ciò posto, se, come a noi interessa, si considera l’integrale quale funzione delle coordinate x, y, z di P (che compariscono come parametri nella
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61 . Se riferiamo il vettore v(t) ad una terna cartesiana Ox yz le sue componenti X, Y, Z sono manifestamente funzioni di t; e se la funzione
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con formule analoghe per le derivate rapporto ad y e a z, come appunto volevamo dimostrare.
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derivato di un vettore v: basta sostituire alle componenti X, Y, Z del vettore le coordinate x, y, z del punto.
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funicolare (n. prec.), assumiamo un sistema cartesiano ortogonale Oxy coll’asse y orientato verso l’alto e denotiamo con x 1, y 1 e x n, y n, le
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integrazione di un sistema di equazioni differenziali. Precisamente, se la forza unitaria è, o si può riguardare, posizionale, cosicchè le X, Y, Z siano
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talché, nella immediata prossimità di P gli sviluppi tayloriani di x, y assumeranno la forma
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6. Un filo pesante, sospeso per i suoi estremi, è atteggiato secondo una curva rappresentata dall’equazione c 3 y = x 4 (c costante, asse y verticale
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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In tal caso le componenti di v sono funzioni note dei quattro argomenti x, y, x e t, e si è condotti a cercare le terne di funzioni x, y, x di t, che
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Accademia della crusca
