, l'idrogeno. Essi hanno tutti la stessa carica negativa u. e. s.
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Tenendo conto della (125), la relazione (123') tra la velocità di fase V delle onde di De Broglie di frequenza v ed il potenziale U diviene
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dove u è una funzione (generalmente complessa) indipendente dal tempo, il cui modulo rappresenta l'ampiezza delle oscillazioni della , e ..
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cioè: la parte spaziale, u, della funzione soddisfa la stessa equazione della . Poichè d'altra parte ciò che determina la distribuzione della
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unidimensionali poi si può anche invocare l'analogia con le oscillazioni trasversali di una corda, facendo corrispondere u allo spostamento della
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con . Se si rappresenta con una curva (fig. 24) l'andamento del potenziale U in funzione di x e poi si traccia la retta orizzontale di ordinata E, le
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Supponiamo che una particella, di energia determinata E, sia soggetta ad un potenziale U(x) avente l'andamento rappresentato dalla fig. 25, e cioè
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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Osserviamo poi che, perchè la u si conservi finita anche per , dovrà essere : tenuto conto di ciò, le (175) danno, come prima,
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il che significa che tutte le particelle sono riflesse. Però la u è diversa da zero anche a destra di O, dove è data dalla (176), che si riduce a
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il
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(dove è un fattore costante di normalizzazione) e quindi, per la (185), una u data da
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Osserviamo che le cinque costanti devono esser legate> tra loro dalla condizione che la u sia continua, insieme alla sua derivata, nei punti A e B
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forza, ed il potenziale U risulterà funzione della sola r.
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cioè una costante: la u dunque in tal caso dipende solo da r (simmetria sferica).
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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Sostituendovi la u(K) ricavata da (275'), si ottiene l'equazione caratteristica del K-esimo polinomio di Laguerre:
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(dove denota, come faremo sistematicamente, la derivata K-esima di u), si ha, con una prima derivazione della (276),
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Per collegare tra loro queste due espressioni bisogna trovare un'espressione approssimata di u valida nella zona di confine — cioè in vicinanza del
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cartesiana, rappresenti un angolo che può variare da 0 a (p. es., la nelle coordinate polari piane): in tal caso la U (e quindi la p) è una funzione periodica
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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di cui la parte di origine elettrica deriva da un potenziale U (posto grad U) mentre la parte magnetica non ammette potenziale. Si osservi che le
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Operando la sostituzione (S),(S') e applicando l' operatore ottenuto alla (indicando inoltre con U, come d'uso, l'energia potenziale ), si ha la
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e la matrice delle quattro u soddisfa (come anche, in questo caso, la ) all'equazione ottenuta dalla (271) sostituendovi con .
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Applichiamo ora i risultati del § precedente al caso di un sistema idrogenoide, cioè specializziamo la funzione U prendendo
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eccentrica u, abbiamo
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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Infatti, in tale ipotesi, poniamo u = vers v e consideriamo anzitutto i tre prodotti
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Un generico vettore fisso u è caratterizzato, nelle notazioni del n. 10, dall’equazione differenziale
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23. La circostanza che il vettore u è fisso, e quindi conserva lunghezza invariabile nel tempo, si traduce pel sistema (20') nell'integrale primo
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si ottiene una equazione lineare in u z che, risolta, dà intanto
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cui si riduce la (13) del n. 10, nel caso presente della invariabilità di u rispetto agli assi mobili.
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designi con u il vettore unitario ortogonale e destrorso rispetto alle due rette orientate IT, IN, si potrà rappresentare con ωλ u denota uno scalare
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30 . Se u è il vettore unitario che ha la direzione e il verso di r, il momento assiale M si può rappresentare vettorialmente (n. 19) sotto forma di
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Notiamo subito che, se vi è una funzione U soddisfacente alla (11), vi soddisfano anche tutte le funzioni U + c, dove c designa una costante additiva
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28. In un campo di forza conservativo di potenziale -U, diconsi superficie equipotenziali le ∞1 superficie
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dove la U (x, y, z)rappresenta il potenziale (Cap. VII, n. 26), il lavoro elementare è, in questo caso, dato da
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talché si conclude che la F è veramente conservativa ed ammette il potenziale U.
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relazione importantissima tra due elementi T ed U (cioè in sostanza tra la velocità, e la posizione del mobile) soddisfatta durante tutto il
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La quantità -U, per il suo significato e per la circostanza che dipende soltanto dalla posizione del mobile, si chiama energia di posizione, od anche
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È noto che è il quadrato della velocità u del suono nel mezzo che si considera, e con ciò è reso manifesto il significato di
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La U, considerata come funzione delle coordinate x, y, z del punto P, è manifestamente finita e continua per tutti i valori degli argomenti, che non
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Nello stesso modo che U è il limite verso cui converge quando si fanno rimpicciolire indefinitamente le porzioni Δ C, così l’integrale, che sta nel
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la crosta esterna (di raggi R 1, ρ), K 2 la crosta interna (di raggi ρ, R 2). Ove si designino con U 1 ed U 2 i potenziali di K 1, e di K 2 relativi ad
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31. Riassumendo, il potenziale U dell’attrazione di un corpo qualsiasi sopra un punto lontano P, a meno di termini di terz’ordine (nel rapporto
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Siamo così in grado di dar forma concreta al termine complementare U* (n. 28), che costituisce la parte (d’ordine superiore al secondo) trascurata
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potenziato P, ossia dal crescere di ρ, le derivate di U* tendono a zero per doppio motivo : per la presenza del fattore ε3sotto il segno, e per quella del
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La funzione U, determinata a meno di una costante additiva arbitraria, dicesi, come nel caso di un' unica forza conservativa, po tenziale della
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talché, immaginando la U espressa, per mezzo delle (8), in funzione delle q h e identificando i coefficienti delle d q h , si conclude
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Accademia della crusca
