Sviluppando il quadrato che figura in questa formula, ed utilizzando la (32) e la proprietà di ortogonalità, si trova l'importante formula di
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Questa funzione è rappresentata da una curva di andamento sinusoidale iscritta entro la curva
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In questa formula, rappresentano tre integrali in cui entrano le autofunzioni dei due stati stazionari, iniziale e finale, e precisamente
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Questa formula rappresenta (v. § 12) un treno di onde piane progressive di lunghezza d'onda
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Si noti che questa relazione determina solo il modulo di , lasciandone arbitrario l'argomento : scriveremo dunque:
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Perchè questa sia identicamente soddisfatta, devono annullarsi tutti i coefficienti, il che dà per le la formula ricorrente
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Questa equazione ben nota si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè ponendo
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(1) Adoperiamo questa lettera per conformarci all'uso ormai universale, sebbene m, indichi pure la massa della particella.
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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Si osservi che i polinomi di Laguerre non sono autofunzioni di questa equazione, nè sono ortogonali: però godono la proprietà (che si può dimostrare
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(1) Per questa ed altre proprietà dei polinomi di Laguerre, v. p. es. bibl. n. 25 o n. 34.
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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Ora, affinchè questa espressione si identifichi con la (301'), i due coseni devono risultare uguali, in valore assoluto, per qualunque x: ciò
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dove è una costante arbitraria. Si tratta ora di trovare una soluzione di questa equazione, che contenga, oltre ad altre costanti arbitrarie
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Ora, sommando le due ultime condizioni di Sommerfeld (324), (325), e tenendo conto di questa identità, si ottiene
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Sostituendo nella (318) questa espressione di , e la, (329) per p, si ottiene per l'espressione (dipendente solo da n)
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(l) Si noti che questa definizione coincide con quella già data a 1 § 4 p. II per le autofunzioni normalizzate.
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(1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito.
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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Questa equazione ha per autovalore qualunque valore di , e dà, con immediata integrazione,
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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(1) Nel caso unidimensionale, p. es., posto (con e reali) si verifica subito che questa condizione è soddisfatta dall'operatore
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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È questa una osservazione massima, che determina completamente lo stato del sistema (infatti, la sua sarà l'autofunzione dell'equazione di
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Nello sviluppare questa espressione si osservi che, per la (190) e la prima delle (182),
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Da questa relazione si traggono intanto gli autovalori perturbati, anche senza determinare le : difatti, per essa diviene
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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sostituendo questa nella (327), e tenendo presente la (303') la formula che definisce diviene:
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Questa teoria permette di spiegare molte particolarità del fenomeno della risonanza, che restano inesplicate nella teoria classica.
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Questa identità vale per qualsiasi moto: nel caso dei moti centrali, ne risulta, in base alla (53)
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Si dimostri in base a questa definizione che in un movimento rettilineo uniformemente vario a partire dalla quiete
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Caratterizzare i casi in cui questa ellisse si riduce ad un cerchio o ad una retta.
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e questa relazione, sussistendo per ogni coppia di punti del sistema, ci dice intanto che il moto è rigido (n. 2).
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sottragghiamo questa identità membro a membro dalla (15). Otteniamo così la formula cercata
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È questa la prima delle preannunziate relazioni tra le derivate dei versori fondamentali mobili; ove si ponga
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Questa, velocità v, poiché la frazione è propria, si mantiene minore, in valore assoluto, di
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È questa l'annunciata regola equivalente alle (8'): da essa si ripassa alle (8'), applicandola ai tre piani coordinati.
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(23') ed è questa la formola notevole per il suo interesse tecnico, che già preanunziammo al n. 24.
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e questa equazione combinata per sottrazione e per somma con la (29), dà
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Tornando, dopo questa breve digressione, al nostro problema, possiamo enunciare il risultato pocanzi ottenuto, dicendo che:
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È questa l'equazione differenziale che definisce l’ elastica piana nell’ipotesi c 0 = cost.
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risulta, secondo i casi, positivo o negativo. Introducendolo, al posto di τ, nella (42), questa può manifestamente essere scritta
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Sotto questa ipotesi, perché sussista l'equilibrio occorre e basta, per l’equazione simbolica della Statica, che si abbia
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questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la forza F, quando il punto P si trova in equilibrio relativo.
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A questa forza di trascinamento, derivante da una rotazione uniforme, si dà il nome particolare di forza centrifuga.
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17. Val la pena di rilevare che questa radice è più piccola o più grande di φ, secondo che
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Ne consegue τ0 ≥ ptgφ. Il momento di questa forza rispetto ad A è
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Accademia della crusca
