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della meccanica quantistica sta nel fatto (rivelato  per  la prima volta da HEISENBERG) che il principio di
illustrato nel § precedente, vale non solo  per  i fotoni, ma anche per qualunque «particella» materiale,
nel § precedente, vale non solo per i fotoni, ma anche  per  qualunque «particella» materiale, come per es. gli
fotoni, ma anche per qualunque «particella» materiale, come  per  es. gli elettroni (1) Da ciò segue che è improprio usare la
Da ciò segue che è improprio usare la parola «particella»  per  designare questi enti che (al pari dei fotoni) hanno
ordinario di particella o corpuscolo materiale. Tuttavia,  per  comodità, useremo correntemente questa parola per indicare
Tuttavia, per comodità, useremo correntemente questa parola  per  indicare collettivamente gli elettroni, i protoni, i
i protoni, i neutroni, i nuclei, etc., avvertendo una volta  per  tutte che la parola non ha il significato ordinario. . Vale
Da ciò segue che è improprio usare la parola «particella»  per  designare questi enti che (al pari dei fotoni) hanno
ordinario di particella o corpuscolo materiale. Tuttavia,  per  comodità, useremo correntemente questa parola per indicare
Tuttavia, per comodità, useremo correntemente questa parola  per  indicare collettivamente gli elettroni, i protoni, i
i protoni, i neutroni, i nuclei, etc., avvertendo una volta  per  tutte che la parola non ha il significato ordinario.
C 1 ha 5 gradi di libertà. Occorrono infatti 2 parametri  per  fissare il punto di contatto sulla superficie del corpo C e
di contatto sulla superficie del corpo C e 2 ne occorrono  per  fissarlo sulla superficie di C l; d’altra parte, escluso il
caso eccezionale in cui il punto di contatto sia singolare  per  l'una o per l'altra superficie basta un ulteriore parametro
in cui il punto di contatto sia singolare per l'una o  per  l'altra superficie basta un ulteriore parametro per fissare
l'una o per l'altra superficie basta un ulteriore parametro  per  fissare la posizione relativa delle due superficie attorno
moltiplicando scalarmente la prima  per  , a destra, la seconda per a sinistra e sottraendo membro a
scalarmente la prima per , a destra, la seconda  per  a sinistra e sottraendo membro a membro, si ha
notare che, in particolare,  per  un vettore unitario le coordinate o componenti coincidono,
un vettore unitario le coordinate o componenti coincidono,  per  le (3), coi rispettivi coseni direttori.
 per  la regola di moltiplicazione, questo non è che l'elemento
questo non è che l'elemento (m, n) della matrice , ossia,  per  la (38), : quindi scriveremo
 Per  un sistema rigido generale i gradi di libertà nello spazio
colla figura) cioè 6, in quanto occorrono 3 parametri  per  fissare l'origine ed altri 3 per determinare l'orientazione
occorrono 3 parametri per fissare l'origine ed altri 3  per  determinare l'orientazione degli assi (p. es. gli angoli di
 Per  ricavare le , e la seconda approssimazione delle operiamo
delle operiamo ora analogamente, moltiplicando la (203)  per  e integrando: osserviamo però prima che
dà  per  il coefficiente di trasmissione , e quindi per il numero di
dà per il coefficiente di trasmissione , e quindi  per  il numero di elettroni emessi, proprio l'espressione
 Per  calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le
di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393)  per  ed ; otteniamo:
 per  l'equilibrio di una verga le equazioni (40)-(42) del n. 42,
di una verga le equazioni (40)-(42) del n. 42, di cui,  per  comodità riscriviamo qui le indefinite
(per il che giova osservare che la nota formula di Leibniz  per  la derivata n-esima di un prodotto, nel caso in cui questo
caso in cui questo è della forma , si riduce a , si ottiene  per  la u la seguente equazione differenziale:
fissa λ, ha  per  fuochi i punti O ed O'; l'iperbole mobile l ha per fuochi i
λ, ha per fuochi i punti O ed O'; l'iperbole mobile l ha  per  fuochi i punti A e P.
 per  gli spostamenti reversibili devesi assumere il segno di
reversibili devesi assumere il segno di uguaglianza, mentre  per  gli irreversibili può valere l’uno o l’altro segno.
 per  dedurne che il piano delle due velocità v τ , v r ,
r , tangente in P alla L (in quanto contiene la generatrice  per  P e la tangente alla t), coincide col piano di v τ e v a
alla Λ; e poiché lo stesso ragionamento si può ripetere  per  ogni punto della generatrice comune alle due rigate, resta
quando si assumano  per  le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti
(267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac  per  l'elettrone non soggetto a forze):
basta notare che nel punto più basso è T = φ,  per  concludere che la costante è nulla e per ritrovare
più basso è T = φ, per concludere che la costante è nulla e  per  ritrovare l'equazione
 per  ipotesi, l’asse maggiore dell’ellisse λ ha la lunghezza Δ,
maggiore dell’ellisse λ ha la lunghezza Δ, di OO', sarà,  per  la proprietà focale dell’ellisse
può dunque dire che  per  le onde di De Broglie un campo di forza rappresenta quello
onde di De Broglie un campo di forza rappresenta quello che  per  la luce è un mezzo ad indice di rifrazione non uniforme e
un mezzo ad indice di rifrazione non uniforme e che inoltre  per  esse il mezzo è sempre dispersivo, poichè l'indice di
fuchsiana (o, come taluni dicono, non essenziale), se  per  uno almeno dei coefficienti P, Q diventa infinito, ma
diventa infinito, ma tuttavia di ordine non superiore al 1°  per  P, e al 2° per Q, cosicchè l'equazione si possa scrivere
ma tuttavia di ordine non superiore al 1° per P, e al 2°  per  Q, cosicchè l'equazione si possa scrivere
di densità cubica o densità di volume (concetto valido  per  qualsiasi corpo), densità superficiale (che ha interesse
qualsiasi corpo), densità superficiale (che ha interesse  per  le superficie materiali), densità lineare (che ha interesse
le superficie materiali), densità lineare (che ha interesse  per  le linee materiali).
moltiplicazione di una matrice  per  una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della
k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice  per  k: anche questo risulta immediatamente dalla (23).
 Per  lo studio dei poligoni funicolari possibili per un dato
lo studio dei poligoni funicolari possibili  per  un dato sistema articolato, possiamo limitarci, in base al
quantità di moto (velocità  per  massa) e impulso (prodotto o somma di prodotti di forze per
per massa) e impulso (prodotto o somma di prodotti di forze  per  intervalli di tempo) rispondono entrambi alla formula:
che l’equilibrio si turba  per  rotolamento, ovvero per strisciamento della sfera, secondo
che l’equilibrio si turba per rotolamento, ovvero  per  strisciamento della sfera, secondo che l'altezza è
Le condizioni cardinali che,  per  un sistema materiale qualsiasi, riconoscemmo soltanto
materiale qualsiasi, riconoscemmo soltanto necessarie  per  l'equilibrio (n. 4 del Cap. prec.), diventano anche
prec.), diventano anche sufficienti nel caso dei solidi.  Per  stabilire questo importante risultato, dobbiamo anzitutto
in tal caso l'equazione si identifica con la (300), che  per  ipotesi è soddisfatta da : si tratta dunque di dimostrare
è soddisfatta da : si tratta dunque di dimostrare che  per  ogni trasformazione di Lorentz esiste una matrice S che
di Lorentz esiste una matrice S che soddisfa la (319).  Per  dimostrarlo, consideriamo dapprima una trasformazione di
E precisamente  per  tutti i valori di N multipli di 4 : tali soluzioni però si
di 4 : tali soluzioni però si possono ricondurre a quella,  per  N = 4.
la retta che interseca l’asse dei tempi  per  t = t, (ascissa l’origine) ed ha per coefficiente angolare
l’asse dei tempi per t = t, (ascissa l’origine) ed ha  per  coefficiente angolare la velocità v.
di che basta dividere membro a membro  per  la prima delle(20') ed eliminare T ed s,per ottenere
qui  per  chiarire l'accennata difficoltà e, d’altro canto, per
qui per chiarire l'accennata difficoltà e, d’altro canto,  per  illustrare l'utilità del metodo nei casi favorevoli,
modo periodico col variare di l (spessore della barriera):  per  cos ossia per
col variare di l (spessore della barriera): per cos ossia  per 
se invece si vuole studiare  per  quali lunghezze d'onda un dato sistema di piani reticolari
quale interviene μ. Dunque la riflessione selettiva avviene  per  lunghezze d'onda diverse da quelle per cui avviene nei
selettiva avviene per lunghezze d'onda diverse da quelle  per  cui avviene nei raggi X, ma, per ciascuna di esse, il
d'onda diverse da quelle per cui avviene nei raggi X, ma,  per  ciascuna di esse, il fascio riflesso ha la stessa direzione
 Per  determinare la relazione intercedente fra v e v*, si
relativo. Manifestamente il moto assoluto così generato  per  Σ rispetto a se stesso si riduce alla quiete, talché,
riduce alla quiete, talché, annullandosi ad ogni istante e  per  ogni punto la velocità assoluta si conclude per la (5) del
istante e per ogni punto la velocità assoluta si conclude  per  la (5) del n. 2
 Per  renderci conto della forma della catenaria omogenea,
la y', come risulta dalla prima delle (30), si annulla  per  x = 0, si riconosce che essa è sempre negativa per x 0,
annulla per x = 0, si riconosce che essa è sempre negativa  per  x 0, sempre positiva per x > 0. Di qui e dalla (31) risulta
che essa è sempre negativa per x 0, sempre positiva  per  x > 0. Di qui e dalla (31) risulta che l’ordinata y della
catenaria, costantemente positiva, e tendente all’infinito  per  x → ± ∞, va sempre decrescendo, mentre x varia da x = - ∞
decrescendo, mentre x varia da x = - ∞ ad x = 0; raggiunge  per  x = 0 il minimo (positivo) (punto più basso o vertice V
funzione pari dell’ascissa (cioè riprende lo stesso valore  per  valori opposti di x) la catenaria è simmetrica rispetto
rispetto all’asse y, cioè rispetto alla verticale passante  per  il punto più basso V. Segue di qui e dall’unicità del
e dall’unicità del minimo che, se un arco di catenaria ha  per  estremi due punti A, B, posti al medesimo livello, esso
che la (15) è ancora soddisfatta se si moltiplica la y  per  una costante complessa di modulo 1 (cioè per un fattore
la y per una costante complessa di modulo 1 (cioè  per  un fattore della forma ): la normalizzazione quindi non
quindi non determina completamente l'autofunzione. Tuttavia  per  lo più si prescinde da questa ulteriore arbitrarietà che si
limite della curvatura media (37)  per  P 1 convergente a P, cioè per dicesi curvatura o flessione
della curvatura media (37) per P 1 convergente a P, cioè  per  dicesi curvatura o flessione della curva l in P; ed è
espressione assai semplice. Basta osservare che, essendo  per  costruzione
ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre  per  la prima ed per la seconda,
le due formule in una col porre per la prima ed  per  la seconda,
 per  un cilindro circolare [cfr. nn. 82-84], così per un
per un cilindro circolare [cfr. nn. 82-84], così  per  un cilindro qualunque, si dicono eliche le curve che
a t, e tenendo conto delle equazioni stesse, si ottengono  per  la velocità e per l‘accelerazione le componenti
delle equazioni stesse, si ottengono per la velocità e  per  l‘accelerazione le componenti
 Per  l’equilibrio, esse dovranno essere eguali e direttamente
esse dovranno essere eguali e direttamente opposte, avendo  per  comune linea d’azione la congiungente dei rispettivi punti
luogo rilevare che, siccome l’impicciolimento di proviene  per  un dato corpo potenziante dall’allontanarsi del punto
ossia dal crescere di ρ, le derivate di U* tendono a zero  per  doppio motivo : per la presenza del fattore ε3sotto il
di ρ, le derivate di U* tendono a zero per doppio motivo :  per  la presenza del fattore ε3sotto il segno, e per quella del
motivo : per la presenza del fattore ε3sotto il segno, e  per  quella del divisore esterno ρ3. Rispetto ad (inverso della
dal punto di vista fisico, non bisogna mai dimenticare che,  per  un ente generico, le qualifiche «grande», «piccolo» di dato
di dato ordine acquistano un significato concreto solo  per  confronto con un altro ente della stessa specie.
 per 
 per 
 per 
 per 
colla circonferenza l) un arco di epicicloide, avente l  per  base e per rulletta una generica circonferenza k. Possiamo
l) un arco di epicicloide, avente l per base e  per  rulletta una generica circonferenza k. Possiamo senz’altro
che il profilo coniugato γ è un arco di ipocicloide, avente  per  base λ e per rulletta la stessa k, se ci riferiamo
coniugato γ è un arco di ipocicloide, avente per base λ e  per  rulletta la stessa k, se ci riferiamo all’ipotesi che l e λ
basta pensare le tre curve tangenti in un medesimo punto I,  per  vedere che, se k tocca l esternamente, tocca internamente
che  per  mezzo delle coordinate generali e delle loro derivate
rispetto al tempo, rappresenteremo lo stato del sistema  per  mezzo delle 2 f variabili di stato
 Per  trovare i livelli energetici, non resta che da determinare
(162): ciò si fa immediatamente particolarizzando la (157)  per  j = k = 0: si ha
di in funzione di r è la seguente (dove si è posta  per  l'espressione (268), per mettere in evidenza la sua
r è la seguente (dove si è posta per l'espressione (268),  per  mettere in evidenza la sua dipendenza da n):

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