Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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momenti sia funzione della sola coordinata e non delle altre. Questa condizione si suole esprimere dicendo che «le variabili sono separabili»; essa
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Di queste equazioni, le (306'), che non contengono t, determinano la forma della traiettoria di ciascun punto, la (306) determina la legge con cui
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sempre reali : trovate queste, si sostituiscono nei tre sistemi e si trovano facilmente le , a meno di un fattore che si determina con le condizioni (34
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Sostituendo in (93) si vede che i termini con le derivate miste si elidono, e analogamente per le altre coordinate, e resta
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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Particolare interesse hanno poi gli elementi delle tre matrici , rappresentanti le componenti del momento elettrico del sistema nello schema , ossia
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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Introduciamo le matrici a due righe e inoltre le tre matrici (a due righe e due colonne) , definite al § 45, e che ora per comodità indicheremo con
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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Le matrici definite dalle (298), sono hermitiane al pari delle , e soddisfano anche esse (come si vede subito) le relazioni:
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Ciò significa non già che la che si ricava da questa sia uguale alla , ma che le quantità , (densità elettrica e densità di corrente nel secondo
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Sostituendo nella (316), e moltiplicando a sinistra per , si ha (si noti che S è permutabile con le ma non con le ):
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il che prova che le si trasformano come le componenti di un quadrivettore invariante, come volevasi dimostrare.
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Scriviamo l'equazione di Dirac nella forma (300), sostituendovi le con le e la con una nuova funzione ; avremo, esplicitando gli operatori mediante
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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il che si verifica immediatamente, applicando le (266) e osservando che, per le (267), le coniugate delle matrici sono uguali alle matrici stesse
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non deve alterarsi scambiando le variabili con le e, d'altra parte, questo scambio muta solo di segno l'integrando: dunque l'integrale è nullo. Si
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scelte, che indicheremo con , di cui le saranno formate con le sole , le con le sole , perchè, come si è detto al § 62, non è fisicamente ammissibile
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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È poi facile risolvere le (22) rispetto a λ, μ, beninteso sotto la condizione che le u x, u v, u z siano legate dalla (21) [il che si traduce nelle
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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4. Se fra le 3N equazioni scalari (2') eliminiamo le n coordinate lagrangiane, otteniamo, nell’ipotesi che la (3) sia di caratteristica n
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Se, in particolare, si assumono come coordinate sovrabbondanti pel sistema le coordinate cartesiane dei suoi punti e le equazioni dei vincoli sono
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È manifesto che le forze posizionali (7) e le forze di tipo (8) rientrano come casi particolari in quelle così caratterizzate.
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In altre parole, in un campo conservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonali delle superficie equipotenziali.
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Ne viene, in quanto si considerino le masse come grandezze primitive e le forze come derivate a norma della relazione fondamentale F = m a, che le
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cosicché per grandezze meccaniche, le quali abbiano rispetto a lunghezze, tempi e masse le dimensioni n 1, n 2, n 3, il rapporto
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Così in particolare, per le forze di propulsione F ed f (n 1 = 1, n 2 = -2, n 3 = 1) e per le potenze Π e π (n 1 = 2, n 2 = -3, n 3 = 1) varranno le
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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poiché, per due masse . simmetriche rispetto al piano z = 0, le m i, x i, y i sono le stesse, mentre le z i hanno valore eguale e segno opposto
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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con analoghe formule per le variabili y e z. Sommando le tre derivate seconde e tenendo conto che
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Giova notare che, in particolare, per un vettore unitario le coordinate o componenti coincidono, per le (3), coi rispettivi coseni direttori.
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Risposta. - Le condizioni complessive, richieste per l'equilibrio astatico, sono (con evidente significato delle notazioni) le 12 seguenti:
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Le incognite R riescono così positive (essendolo le M e di conseguenza le p). Dato il significato di intensità loro attribuito, questo doveva
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Le (5) diconsi equazioni indefinite dell’ equilibrio, le (6), relative ai nodi estremi, equazioni ai limiti.
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poiché le (6) contengono, si può dire, soltanto la definizione di due ulteriori incognite (le azioni F 1 ed F n subite dai nodi d’attacco P 1 e P n
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12. Ciò premesso, riprendiamo l’ipotesi che siano fissate le posizioni dei due estremi P 1 P n e, interpretando, come è lecito, le n - 2 forze
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Ora assumendo la φ come incognita ausiliaria, siamo anzitutto in grado di esprimere per φ e per le incognite principali α1, α 2,..., αn-1 le
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Varranno per l'equilibrio di una verga le equazioni (40)-(42) del n. 42, di cui, per comodità riscriviamo qui le indefinite
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1. Per stabilire le condizioni di equilibrio di un sistema materiale S di natura qualsiasi, quando si conoscano i vincoli e le forze attive cui esso
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onde si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (15'), (16'), le F i definite dalle (19) soddisfano
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Mostreremo come sia facile rispondere affermativamente ad entrambe codeste questioni quando si ammettano le ipotesi, sufficientemente comprensive per
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Di qui concludiamo che, come si era preannunciato, le (19) forniscono (subordinatamente alle restrizioni μi ≥ 0 che riflettono le condizioni non
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Così la regola del n. prec. risulta estesa a sistemi materiali quali si vogliano, a condizione che le forze interne e le reazioni vincolati
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Una tale disuguaglianza è certo verificata dalle nostre T A e T B. Noi le abbiamo infatti determinate, combinando le due equazioni
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Le leggi che determinano come le variabili di stato variano col tempo (equazioni del movimento) si possono scrivere, nella forma canonica di Hamilton,
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Accademia della crusca
