Affinchè questo sistema di equazioni lineari ed omogenee in c1, c2 ammetta soluzioni non nulle, deve aversi
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Le equazioni che interessano la meccanica ondulatoria sono, nella maggior parte dei casi, equazioni a derivate parziali, lineari ed omogenee: a
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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Valgono dunque, in media, le equazioni di HAMILTON. Per esempio, per un punto in coordinate cartesiane, si ha
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Queste due equazioni omogenee (il cui determinante è nullo in virtù di danno:
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equazioni nelle due funzioni (con k = 1, 2): p. es., se si indica con la parte dell'hamiltoniano (244) che non opera sullo spin, cioè se si pone , la (246) si
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Determineremo ora i coefficienti delle equazioni (258), ossia le matrici , imponendo la condizione che dalle dette equazioni del primo ordine
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Queste quattro equazioni lineari omogenee nelle quattro costanti , hanno soluzione non nulla solo se
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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e, annullando il determinante dei coefficienti di queste due equazioni lineari in , si trova per l'equazione
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dove i coefficienti sono ottenuti (v. § 39) mediante i quattro sistemi di equazioni lineari:
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Hanno grande importanza, nella meccanica ondulatoria, le equazioni differenziali (a derivate ordinarie) lineari, omogenee, del secondo ordine, cioè
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È noto dall'algebra che questo sistema di equazioni omogenee ammette soluzioni non nulle solo se
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Si è così condotti ad integrare il sistema di equazioni differenziali del 2° ordine
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e le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
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onde le equazioni del moto di P ove si ponga
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Componendo i due moti di P 1 e P z, avremo pel moto composto le equazioni
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, 3) le rispettive componenti, le equazioni caratteristiche (14) si traducono, in virtù della (17), nelle equazioni (7) del n. 8.
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Ciò premesso, le equazioni delle due rette CC l e ΓΓλ, come congiungenti dei punti
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Negli intervalli di tempo in cui si mantiene diverso da zero, le (23), (23') forniscono le equazioni parametriche rispettivamente della base λ e
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cui si dà così luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane.
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le l ' equazioni indipendenti che legano le coordinate q h , sulla generica configurazione C relativa all’istante t, dovranno soddisfare alle stesse
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15. Spostamenti virtuali di un sistema rigido. - I vincoli di rigidità, in quanto sono espressi da equazioni della forma
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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ossia, rispetto a tre assi fissi, alle tre equazioni differenziali del 2° ordine
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che, proiettate sugli assi di una terna di riferimento, danno luogo alle sei equazioni scalari
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mentre il punto C, come intersezione delle due rette P 2 B, P 1 D di equazioni, rispettivamente
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funicolare da P 1 a P n) formano coll’asse orientato delle x; e notiamo subito che per determinarle dovremo ricorrere alle equazioni (5), (6) dell
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La proiezione delle (5) sull’asse y (verticale e diretto verso l’alto) dà perciò luogo alle equazioni
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Le (10), (11) costituiscono complessivamente n equazioni fra altrettante incognite > α1, α 2,..., αn-1 , φ. Per risolverle, giova porre
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26. Trovate così le equazioni indefinite dell’equilibrio, procediamo all’integrazione.
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31. Resta da calcolare la tensione. A tale scopo, riprendiamo la prima delle equazioni indefinite (27) scrivendola sotto la forma
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Non è inutile osservare che, nelle circostanze supposte, le equazioni indefinite dell’equilibrio si riducono sostanzialmente a quest’ultima
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Varranno per l'equilibrio di una verga le equazioni (40)-(42) del n. 42, di cui, per comodità riscriviamo qui le indefinite
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3.° che il valore numerico di a 0, in funzione di τ0, si ricava dalle due equazioni
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Insomma le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del sistema olonomo considerato sono date dalle n equazioni (12).
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la quale, per l'arbitrarietà dei coefficienti v p, si spezza nelle n equazioni
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Ne viene che il complesso delle forze centrifughe non reca contributo alle equazioni cardinali, e si può quindi prescinderne.
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È ben noto come questi nove coseni siano caratterizzati dal sistema di sei equazioni
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) e che ammette le (2) come equazioni parametriche. Eliminando t fra le (2) si ottiene la rappresentazione della traiettoria mediante due equazioni in x
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La (1) o, indifferentemente, le sue componenti (2) diconsi equazioni (finite) del moto del punto P.
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Considerato nel piano, rispetto a una data coppia Oxy di assi cartesiani, il moto di un punto P, di equazioni
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Ed eliminando v1, e v3 tra le equazioni [4], [4] e [5], si ha:
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Col mezzo delle quali quattro equazioni le ignote quantità possono venire determinate.
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Differenziando la prima delle due equazioni soprascritte si ottiene la equazione fondamentale di Newton
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Il contenuto positivo delle equazioni nominate verrà chiarito più oltre, seguendo HERTZ e LEVI-CIVITA.
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Hertz soprattutto, a prescindere dall'estensione delle equazioni suddette a mezzi cristallini anisotropi, ha il merito di avere spiegato lucidamente
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Appunto una tale critica ha condotto HEAVISIDE e HERTZ a trasformare e semplificare le equazioni di Maxwell.
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§ 34. Spiegazione fisica: valore dei modelli meccanici e delle equazioni.
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Accademia della crusca
