come due autovalori E1, E2 coincidenti, ed a ciascuno di essi far corrispondere, nel modo spiegato sopra, una autofunzione normalizzata ed ortogonale
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caratteristiche nuove, di cui la più notevole è l'apparizione di uno spettro continuo di autovalori: ciò significa che vi possono essere per λ (oltre
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§ 8, caso β. Se si parte da uno degli autovalori (28') e dalle corrispondenti autofunzioni (29), e si fa tendere l ad [simbolo eliminato] , si vede
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continuo di autovalori; le autofunzioni corrispondenti a questi autovalori in generale non tendono a zero all'infinito, ma tendono a zero i loro
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corrispondenza degli autovalori continui un integrale invece di una serie. Riferendoci, per maggior generalità, al caso che esistano tanto gli autovalori
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dove fλ è una funzione della variabile continua λ, e l'integrazione rispetto a λ si intende fatta su tutto lo spettro continuo di autovalori. La
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matematica: come si è visto, esso ammette soluzioni solo se il parametro E (che corrisponde al del cap. I) ha uno dei valori che abbiamo detto autovalori
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che si deve escludere (v. § 28). Del resto, come si è visto, e quindi E è completamente arbitraria tra O e (spettro continuo di autovalori), ossia la
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Gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione si studiano con un metodo analogo a quello seguito nel § 39 per l'oscillatore: punti singolari
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Queste condizioni conducono (quando sia specificato il potenziale U(r)) a determinare per la E una successione di autovalori (in generale, parte
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degli autovalori dell'equazione di Schrödinger. Da questo metodo trarremo una regola di quantizzazione che sostanzialmente coincide con quella postulata
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i cui autovalori supponiamo discreti) è rappresentata da un versore , e che questi infiniti versori sono ortogonali tra loro: possiamo quindi dire
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autovalori distinti Am e essi sono ortogonali: difatti si ha
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riferiremo a quest'ultimo caso, intendendo che nel caso degli autovalori continui si debbano sostituire, in tutte le formule, le sommatorie con opportuni
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). Sia difatti F(a) il simbolo di una funzione della variabile a (anche non sviluppabile in serie), e sia un o. l. con gli autovalori e le autofunzioni
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Osservazione. — Vogliamo richiamare l'attenzione sul significato del teorema precedente nei casi in cui esistono autovalori multipli o in cui uno
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autovalori dell'operatore».
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Si vede da ciò, che il problema di ridurre una matrice a forma diagonale (ossia, di trovare gli autovalori e le autofunzioni di un o. l. è la
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degli autovalori formanti spettro continuo (oltre, eventualmente, ad autovalori discreti). Si è così condotti a considerare casi in cui gli indici, che
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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ossia (v. § 10) ricercando gli autovalori e le autofunzioni di questo operatore (che risulta hermitiano): i suoi autovalori En rappresentano i
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energia (che sola interessa la spettroscopia) valgono dunque gli autovalori trovati al § 48, p. II, con la sola lieve correzione della sostituzione
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all'autovalore di corrispondono p autovalori di i quali vengono a coincidere con quando tende a 0, e ad essi corrispondono altrettante autofunzioni e
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Naturalmente, se avesse degli autovalori continui G', nella si dovrebbe sostituire l'indice discreto r con la variabile continua G', e si dovrebbe
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passaggio al limite del tutto analogo a quello fatto per il caso degli autovalori multipli d'ordine p. come probabilità del valore
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moltiplicazione per x, cioè (ed è incompleto, salvo il caso unidimensionale). Difatti, come si è visto al § 14, tale operatore ha per autovalori tutti
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operatore , con autovalori Ar e autofunzioni . Sia poi G un'altra osservabile definita come funzione di A, cioè G = F(A): i possibili risultati di una
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dipenderà esplicitamente dal tempo (si dirà allora che l'osservabile G dipende esplicitamente da t). In tal caso gli autovalori e le autofunzioni di G
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autovalori sono, come si è visto, con . Perciò i valori che può assumere l'osservabile M, momento dell'impulso, sono dati da
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i suoi autovalori danno i possibili risultati della misura di G, e le rispettive probabilità sono date da . Geometricamente, diremo che le
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i cui elementi non sono altro che gli autovalori dell'operatore (v. § 10), e quindi rappresentano i possibili risultati di una misura di K. Gli
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si possono indicare metodi generali) gli elementi della matrice diagonale danno gli autovalori richiesti. Mostreremo al § seguente un esempio di
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dove è una costante che determineremo in seguito. Numerando in tal modo gli autovalori, la condizione (160) è soddisfatta solo per : quindi le
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dei numeri è pure un autovalore. Questa condizione è soddisfatta se gli autovalori formano una progressione aritmetica di ragione , cioè se sono dati
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(1) Si potrebbe naturalmente aggiungere a queste espressioni un fattore della forma , con arbitraria, ma gli autovalori risulterebbero, come si
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arbitraria, ma gli autovalori risulterebbero, come si riconosce subito, gli stessi. Ciò corrisponderebbe a moltiplicare i versori, che individuano gli assi
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elettroni dell'atomo come una forza perturbatrice, e, supposto di aver saputo risolvere il problema (cioè determinare autofunzioni e autovalori) per
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(1) Se gli autovalori sono in parte discreti ed in parte continui, e se l'autovalore su cui si fissa l'attenzione appartiene ai primi, le formule di
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Si noti che per calcolare (in prima approssimazione) gli autovalori perturbati non è stato necessario conoscere le autofunzioni perturbate : molte
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gli autovalori, e la prima per le autofunzioni.
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Passiamo ora al calcolo degli autovalori in seconda approssimazione. Per ricavare dalla (173) in seconda approssimazione è necessario inserirvi i
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Passiamo alla determinazione (in pratica assai più importante) degli autovalori perturbati in seconda approssimazione: questi si ricavano dalla (209
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Studiamo ora le proprietà degli operatori così definiti. Osserviamo anzitutto che, poichè essi hanno i soli due autovalori ± 1, i loro quadrati
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autovalori + 1 e — 1: deve aversi cioè
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mantiene costante l'osservabile , dove , è un'osservabile i cui autovalori sono : ciò significa che il momento totale dell'impulso rispetto all'asse
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Per chiarire la cosa con un esempio, cerchiamo gli autovalori e le autofunzioni dell'operatore , definito da (288), ossia dall'ultima delle (289
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probabilità corrispondente all'autovalore è , e similmente quella corrispondente a è ; essendo i due autovalori coincidenti, la probabilità totale
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Trattiamo dapprima il caso della soluzione (338) cioè di e cerchiamo gli autovalori (per il parametro ) e le autofunzioni delle equazioni (340
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coincidere con la precedente), e porre in essa l'indice 2 alle variabili: sono i corrispondenti autovalori, eventualmente uguali. Se ora consideriamo le
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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Accademia della crusca
