13. Spostamento virtuale dei sistemi olonomi. - Vedremo in seguito come in Meccanica sia di essenziale importanza il considerare, accanto agli
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i successivi istanti, talché ogni spostamento virtuale è pur possibile e viceversa.
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Ma se i legami dipendono dal tempo, variano in generale da istante ad istante le configurazioni del sistema, cosicché uno spostamento virtuale, in
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, lo spostamento, subito da un suo punto P i in uno spostamento virtuale dell’intero sistema si indica con δP i e le sue componenti secondo gli assi si
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Un sistema olonomo, ad ogni istante e a partire da ogni sua configurazione, ammette insieme con ogni suo spostamento virtuale δP i anche il suo
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In conformità alla notazione convenuta per gli spostamenti virtuali (n. 12), giova indicare con δP lo spostamento virtuale di un punto generico P del
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cioè: Componendo, a partire da una stessa configurazione del sistema, due o più spostamenti virtuali, si ottiene ancora uno spostamento virtuale.
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Per estendere anche al caso in cui sussistono vincoli anolonomi la nozione di spostamento virtuale si segue il criterio di considerar sempre come
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) la rappresentazione di ogni possibile spostamento virtuale sotto la forma
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Ciò premesso e supposta estesa ai sistemi a vincoli unilaterali la definizione di spostamento virtuale data pei sistemi olonomi al n. 13, avremo che
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spostamento virtuale, a partire dalla considerata configurazione di confine, sarà reversibile sempre e solo quando renderà soddisfatta insieme colla (20
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spostamento virtuale reversibile, positivo o nullo per ogni spostamento virtuale irreversibile (cfr. Cap. VI, §§ 3, 4).
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spostamento virtuale del punto materiale cui essa risulta applicata nel sistema considerato. Così, se si tratta di un sistema di punti materiali P i
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Ciò posto, osserviamo che al principio dianzi enunciato si può dare una forma più concisa, e del resto equivalente, dicendo che il lavoro virtuale
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superficie ovvero alla curva, mentre ogni spostamento virtuale è (a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo) situato sul piano, o
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Siccome, quando si tratta di sistemi a legami indipendenti dal tempo, ogni spostamento virtuale è anche possibile (Cap. VI, n. 13), così noi possiamo
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Ciò posto, il lavoro virtuale R x δP della forza R si riduce ad RΔ (per la definizione di prodotto scalare) e quello R' x δP' della R' - RΔ.
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subito che il lavoro virtuale delle reazioni provenienti da questi vincoli è nullo nei primi due casi, positivo o nullo nel terzo.
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generico tempuscolo dt si può sempre risguardare come uno spostamento virtuale del sistema.
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lo spostamento effettivo di cui si tratta (considerato, in base ad a), come virtuale) è reversibile, l’asserto b) rientra nel principio dei lavori
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Se poi lo spostamento effettivo, sempre considerato come virtuale, è irreversibile, l’enunciato b) si giustifica induttivamente, ricorrendo come al n
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e il lavoro complessivo delle forze attive per un qualsiasi spostamento virtuale δP i del sistema sarà dato da
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sollecitazione, esiste pel sistema almeno uno spostamento virtuale, pel quale, contrariamente alla (1), il lavoro complessivo δL delle forze attive risulta
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6. Diciamo che, inversamente, la condizione (1) è anche sufficiente per l’ equilibrio del sistema: cioè, se sussiste, per ogni spostamento virtuale
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forze attive compiano un lavoro totale nullo per ogni spostamento virtuale reversibile, negativo o nullo per ogni spostamento virtuale irreversibile.
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spostamento virtuale del sistema alla condizione (1), non può mettersi in moto.
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Ora, si supponga di far subire al sistema uno spostamento virtuale δP i: se δl i è la componente del vettore δP i, secondo la direzione orientata di
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Possiamo anche dire che questa espressione, presa in valore assoluto, misura il tratto di filo che, nel considerato spostamento virtuale del sistema
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Ciò posto, è chiaro che, se un solido (comunque vincolato) si trova in equilibrio, ed è quindi ≤ 0 il lavoro virtuale δL delle varie forze attive, lo
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Si dovrà quindi sostituire questa espressione del generico δP i nella sommatoria che dà il lavoro virtuale δL, e raccogliervi a fattor comune δO e δω
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spostamento virtuale δP i del punto generico P i dato (Cap. VI, n. 12) da
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Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce manifestamente a
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In un generico spostamento virtuale del sistema siano dx i, d y i, d z i le componenti dello spostamento d P i subito da P i.
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L’espressione del lavoro virtuale può così essere scritta
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spostamento virtuale del sistema.
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. Consideriamone un generico spostamento infinitesimo, che è senz’altro uno spostamento virtuale, poiché si tratta di vincoli indipendenti dal tempo. Lo
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Immaginiamo impresso al sistema uno spostamento virtuale in uno dei due sensi: in quello per esempio secondo cui la forza F tende a far ruotare la
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Valutiamo i corrispondenti contributi al lavoro virtuale delle varie forze. Per effetto della traslazione, la F che è per ipotesi perpendicolare asse
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virtuale complessivo assume l’aspetto
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Poiché qui ogni spostamento virtuale
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La (10') deve sussistere per qualsiasi spostamento virtuale del sistema, cioè per ogni possibile scelta delle arbitrarie δq h (in particolare quando
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, cioè per ogni spostamento virtuale del sistema, e l’equilibrio è assicurato.
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Ciò premesso, applichiamo, nell’ipotesi di una sollecitazione conservativa, la identità (13) al caso di uno spostamento virtuale.
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Giova rilevare esplicitamente che la precedente osservazione non è invertibile, in quanto può darsi benissimo che il lavoro virtuale
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generale spostamento virtuale reversibile di S si può rappresentare sotto la forma
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considerate fornisce le N terne di componenti dei δP i (i = 1, 2,..., N) in un particolare spostamento virtuale reversibile dei sistema S; indicando con
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spostamento virtuale.
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Le U j sono in tal caso forme lineari omogenee nelle componenti d x, dy, d z di un generico spostamento virtuale di P. Supposto che si tratti un
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omogeneo (20), vale a dire il più generale spostamento virtuale reversibile δP i del nostro sistema. Con ciò
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Si noti prima di tutto che in un generico spostamento virtuale del sistema,
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Accademia della crusca
