Perchè questa sia identicamente soddisfatta, devono annullarsi tutti i coefficienti, il che dà per le la formula ricorrente
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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e la soluzione cercata è un polinomio di grado l, soddisfacente alla formula ricorrente (236). Tali polinomi sono stati introdotti da tempo nella
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Un'altra loro proprietà notevole è espressa dalla formula ricorrente che lega tre polinomi successivi:
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Le sue autofunzioni si possono ottenere mediante la formula ricorrente (236), ma si può anche osservare che se si deriva l'ultima equazione rispetto
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ciascuna potenza, si trova per le , la formula ricorrente
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si trova per le la formula ricorrente,
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e che è determinato (una volta fissato a piacere il primo coefficiente dalla formula ricorrente (265). Lo studio di tali polinomi è facilitato dal
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Un'altra proprietà notevole dei polinomi di Laguerre, che ci limitiamo ad enunciare, è quella espressa dalla formula ricorrente
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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Accademia della crusca
