È questa un'equazione di secondo grado che fornisce in generale due radici, , a cui corrispondono, in generale, due integrali della forma (86) che
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). Come si vede dall'espressione (285) di R, questa funzione si annulla per r = 0 (tranne il caso ), per , ed inoltre in corrispondenza alle radici
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Questa equazione in Ak, detta equazione secolare (che risulta la stessa per tutti e tre i sistemi), ammette, come si sa dall'algebra, tre radici
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Da questa equazione di grado p possiamo ricavare . Essa è della forma detta «equazione secolare» (v. § 12), ed essendo le sue p radici sono tutte
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e quindi una delle radici tende a , una a ecc.: con questo criterio si fa il coordinamento.
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e alle sue p radici reali possono venire attribuiti gli indici 1, 2, ... p in un ordine qualunque: l'effetto della perturbazione è quello di
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(1) Se l'equazione secolare avesse due o più radici coincidenti, la degenerazione verrebbe solo parzialmente tolta, vale a dire, il livello Eo
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è una delle radici ottenute eguagliando a zero il determinante dei coefficienti, e l'autofunzione appartiene all'autovalore
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e le sue radici sono:
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integrali uscenti da A tagliano l'asse x negli stessi punti N1, N2,... (nodi) corrispondenti alle radici dell'equazione f(x)=0; in altre parole, variando
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Se quest’equazione ha due radici distinte z1,z2 cioè se sì ottengono così le due soluzioni particolari e e z 1 t, e z 2 t; talché l’integrale
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h le due radici z l z 2 della (50) sono (per qualsiasi h) complesse coniugate e si ha precisamente
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Sotto questa ipotesi la (50) ammette due radici reali distinte
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Se h 2 > h, h > 0, k > 0 (ed è questo il caso più interessante per le sue interpretazioni fisiche) le due radici z 1, z 2 dalla (50) sono entrambe
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Se h 2 > h, h > 0, k 0 le due radici z 1, z 2 sono di segno contrario e si ha precisamente z 1 > 0, z 2 0; talché si rileva immediatamente dalla (51
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c) Se h = 0, la h 2 > k implica k 0; e le radici della (50), date da
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. Donde sotto forma espressiva: Le du rate di oscillazione di due pendoli simili stanno tra loro come le radici quadrate delle rispettive lunghezze
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Delle due radici dell'’equazione ottenuta elevando a quadrato entrambi i membri della (8'), quella che compete anche alla (8') stessa e quindi all
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Accademia della crusca
