Il prodotto ΔkΔx assume il valore minimo quando D = O, cioè quando
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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si può definire il prodotto scalare di due vettori f, g:
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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Evidentemente, il prodotto di due o. l. è anch'esso lineare.
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Si osservi che se e ammettono entrambi un reciproco, anche il loro prodotto lo ammette, ed è (si noti l'inversione dei fattori): difatti
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e calcoliamo mediante la (23) l'elemento generico della matrice prodotto :
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Passiamo al prodotto di due matrici . Chiamiamo l'o. l.
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La formula (28) equivale, come si vede facilmente, alla seguente regola: «il prodotto di due matrici si effettua con la nota regola del prodotto di
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Hanno particolare interesse nella meccanica quantistica quegli o. l.che godono la proprietà seguente: per qualunque funzione f, il prodotto è reale
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e in particolare, se e sono permutabili, il loro prodotto è hermitiano.
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A queste matrici continue si estendono tutte le definizioni già date: p. es. il prodotto di due matrici è la matrice
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Dalla definizione di somma si può passare a quella di « prodotto simmetrizzato», cioè di . Difatti, supposto che esista un'osservabile G tale che G
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Se poi le osservabili X, Y sono compatibili, il loro prodotto simmetrizzato si identifica col prodotto XY o YX. Se invece sono incompatibili, non si
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si verifica subito che la , prodotto di tutte le , soddisfa l'equazione
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(m' prende il nome di massa ridotta). Corrispondentemente la potrà spezzarsi (v. § 20) nel prodotto
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dove, estendendo in modo ovvio la notazione del prodotto interno, si è indicato col simbolo H l'operatore (o matrice)
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come si verifica subito, applicando la regola del prodotto di due matrici. Conseguentemente, la densità elettrica media sarà data da
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cioè la velocità di P è data in ogni istante dal prodotto del raggio della traiettoria per il valore assoluto della velocità angolare
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Pel prodotto di un vettore per un numero sussistono le identità
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Prodotto di un vettore per un numero. - Se v è un dato vettore ed n un intero positivo qualsiasi, la somma di n vettori uguali a v è, per definizione
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In ogni moto centrale è costante il prodotto della velocità intensiva per la distanza della tangente alla traiettoria dal centro del moto.
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19.Prodotto Scalare. – Dati due vettori v 1, v 2, entrambi diversi dallo zero, dicesi prodotto scalare (od interno) di v 1, per v 2 il prodotto v 1 v
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§ 3. – Prodotto scalare
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e prodotto vettoriale di due vettori.
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concludiamo che il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto (algebrico) delle loro componenti secondo la direzione di uno qualsiasi di
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inoltre vale manifestamente pel prodotto scalare la proprietà commutativa
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Dalla espressione v 1 v 2 cos del prodotto v 1 x v 2 risulta che esso si può interpretare come il prodotto (algebrico) della lunghezza di uno dei due
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20. Come immediata conseguenza della definizione di prodotto scalare, si ha, qualunque sia il numero reale a, la identità
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In conclusione valgono anche pel prodotto scalare le regole consuete del calcolo algebrico.
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È poi facile determinare l’espressione del prodotto v 1 x v 2 per mezzo delle componenti X 1, Y 1, Z 1 e X 2, Y 2, Z 2 di v 1 e v 2 secondo le
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che come prodotto esterno di due vettori paralleli è identicamente nullo,
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conformità che il prodotto vettoriale è alternante (anziché commutativo, quale è il prodotto di due numeri o il prodotto di un vettore per un numero o il
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cioè si riconosce valida la proprietà distributiva anche per il primo fattore di un prodotto vettoriale. Come in Algebra, la proprietà si estende poi
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23. Cambiamo segno a entrambi i membri della (19), invertendo in ciascun prodotto vettoriale l'ordine dei fattori. Si ottiene
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28 . Dato un vettore applicato v = B-A e un punto P, il prodotto vettoriale
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Di qui apparisce che il prodotto scalare
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34. Trinomio invariante. Dalla (29) e dalla proprietà distributiva del prodotto scalare si ha:
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Ma, per definizione di prodotto vettoriale, il vettore (P-P') Λ r è perpendicolare ad R, onde risulta
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Il prodotto scalare F x d P, valutato come prodotto dell’intensità della forza per la componente ρdζ dello spostamento secondo F (cfr. Cap. II, n. 19
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Per una nota proprietà del prodotto scalare si può anche dire che il lavoro è dato dal prodotto delle componenti della forza e dello spostamento
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Infine quantità di moto (velocità per massa) e impulso (prodotto o somma di prodotti di forze per intervalli di tempo) rispondono entrambi alla
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Questo prodotto dicesi coefficiente di riduzione delle grandezze di dimensioni n 1, n 1, n 3.
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Tale lunghezza (prodotto dell’unità per la distanza del polo P i dalla linea d’azione r) coincide manifestamente con δi.
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derivando e notando che, in virtù della (40), è nullo il prodotto scalare si ha
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Il lavoro (loro prodotto scalare) è dunque nullo.
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od anche (essendo essenzialmente positivo ) del prodotto
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da zero in P. Con ciò, il termine cτ: certo prepondera, per Δs abbastanza piccolo, sul prodotto infinitesimo ε x b, e il segno di (P 1 - P) x b è
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Prodotto di un vettore per un numero.
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La v Θ, che si dice velocità trasversa (al raggio vettore), è data dal prodotto della distanza ρ di P dal polo per
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Accademia della crusca
