Il vettore soddisfa le equazioni
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Eliminando v tra queste due equazioni si trova
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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e quindi le equazioni precedenti danno
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Difatti le equazioni di Hamilton che se ne ricavano sono
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Queste due equazioni omogenee (il cui determinante è nullo in virtù di danno:
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spazio) per determinare la P in tutti gli istanti successivi, e quindi ammettere che le N funzioni soddisfino un sistema di n equazioni differenziali del
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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e, assumendo per le le espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
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Tenendo conto dell'ultima di queste, si vede che nelle prime due delle equazioni (272) si elimina il termine della prima parentesi, mentre nelle
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il che equivale alle quattro equazioni:
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e le precedenti equazioni divengono
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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Un’ulteriore integrazione dà le equazioni del moto
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onde le equazioni del moto di P ove si ponga
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Quadrando e sommando le prime due equazioni (60) si trova:
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Son queste le equazioni generali di un moto rigido.
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che manifestamente coincidono colle componenti delle equazioni vettoriali (10), (12).
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, 3) le rispettive componenti, le equazioni caratteristiche (14) si traducono, in virtù della (17), nelle equazioni (7) del n. 8.
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rispetto a Oξ, che deve annullarsi con t, sarà data da Θ = ωt. Perciò le equazioni del moto di P 1 si otterranno ponendo Θ = ωt nelle prime due equazioni (6
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Di qui, integrando, si deduce che le equazioni della precessione regolare sono
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cosicché le λ, μ son definite dalle equazioni
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le due equazioni divengono
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a) Equazioni parametriche.
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le equazioni divengono:
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Se x i , y i , z i sono le coordinate del punto P i rispetto ad una terna scelta come riferimento del sistema, le equazioni geometriche (2) si
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4. Se fra le 3N equazioni scalari (2') eliminiamo le n coordinate lagrangiane, otteniamo, nell’ipotesi che la (3) sia di caratteristica n
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27. Eliminando fra le (12) la U,si trovano le tre equazioni
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§ 9. - Equazioni differenziali del moto di un punto.
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ossia, rispetto a tre assi fissi, alle tre equazioni differenziali del 2° ordine
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In ogni caso eseguendo nelle due prime equazioni differenziali del moto (13') le sostituzioni (14), si riduce il problema alla integrazione delle due
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si diranno indipendenti se le equazioni (1) possono risolversi rispetto a x, y, z. Poiché per ciò è necessario e sufficiente che, prendendo i
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Le equazioni (1) od (1'), che, come si è visto, esprimono condizioni necessarie per l'equilibrio di ogni possibile sistema materiale, diconsi
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Concludiamo, dunque, che pei solidi l'equilibrio è caratterizzato dalle due equazioni vettoriali (1), o dalle sei equazioni scalati equivalenti
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il sistema delle quattro equazioni può esser scritto
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Le (5) diconsi equazioni indefinite dell’ equilibrio, le (6), relative ai nodi estremi, equazioni ai limiti.
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26. Trovate così le equazioni indefinite dell’equilibrio, procediamo all’integrazione.
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§ 4. - Equazioni intrinseche dell’equilibrio dei fili
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Per discutere siffatte circostanze riprendiamo le equazioni intrinseche
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46. Le equazioni indefinite (43) del n. prec., ove si riferiscano al triedro principale t, n, b della direttrice, assumono una forma sotto cui esse
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si spezzano nelle sei equazioni scalari:
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ossia, tenendo conto della seconda delle equazioni ai limiti (42'),
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la quale, per l'arbitrarietà dei coefficienti v p, si spezza nelle n equazioni
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Le equazioni assumono così l’aspetto
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) e che ammette le (2) come equazioni parametriche. Eliminando t fra le (2) si ottiene la rappresentazione della traiettoria mediante due equazioni in x
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7 . É manifesto da quanto precede che il moto di un punto P è perfettamente determinato tanto dalle equazioni del Moto (2), quanto da una
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che, integrate, danno le equazioni del moto sotto la forma
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Queste equazioni si possono raccogliere nell’unica equazione vettoriale
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si potran dire le equazioni del moto in coordinate polari.
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Accademia della crusca
