Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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corrispondenza degli autovalori continui un integrale invece di una serie. Riferendoci, per maggior generalità, al caso che esistano tanto gli autovalori
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energetici (discreti, o talvolta continui) che è, come si è visto, un fatto sperimentale, e la determinazione di questi livelli si riduce al problema
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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discreti e parte continui) che rappresentano i livelli energetici del sistema: nel caso che siano discreti, si potranno caratterizzare con un indice n
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di f costanti suscettibili di valori continui se ne introducono altrettante, ma suscettibili di valori discreti.
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chiameremo «assi continui», essendo i valori di x una infinità continua), anche un altro sistema di assi (in numero infinito, ma discreti) definito dai
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più avanti) sempre reali: essi costituiscono un sistema completo di funzioni ortogonali, e possono essere continui o discreti: generalmente ci
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Nel caso degli autovalori continui è importante osservare che se è un'autofunzione di appartenente all'autovalore , e normalizzata (col criterio del
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ad indici continui» (« o matrice continua») è equivalente al concetto di funzione di due variabili. Se poi si vuole conservare l'immagine materiale
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L'estensione al caso di indici continui della matrice unità introdotta al § 5 (cioè la generalizzazione del simbolo ) conduce a introdurre un simbolo
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dove si è indicato con x' l'autovalore (trattandosi, come si vedrà, di autovalori continui). Ora, la (74') è soddisfatta prendendo x' qualunque e
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L'introduzione della funzione impropria ci permette di considerare formalmente gli assi dello spazio hilbertiano che abbiamo chiamati «continui» al
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assi sono proprio gli «assi continui» introdotti al § 1: difatti la proiezione di una qualunque funzione f(x) sull'asse corrispondente all'autovalore x
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Si osservi che, dal punto di vista formale, il simbolo più volte usato (= 0 se , = 1 se ) trova, nel caso degli indici continui, il suo analogo nella
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quantistica in generale un'osservabile non ha un valore numerico, ma ad essa corrispondono infiniti valori numerici (continui o discreti) , con le rispettive
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dell'operatore vale ancora lo stesso significato per le componenti di questo vettore sugli assi continui. Inoltre, se si esegue una misura di energia
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quest'ultimo il grassetto, come nel cap. prec.). sull'asse (del sistema di assi continui, v. § 2) individuato dai valori x, y, z. Diremo brevemente che
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probabilità). Se l'operatore ha invece uno spettro continuo di autovalori, indicheremo uno generico degli autovalori continui con G', anzichè con Gr, e
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Naturalmente, se avesse degli autovalori continui G', nella si dovrebbe sostituire l'indice discreto r con la variabile continua G', e si dovrebbe
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autofunzioni, la probabilità del valore Gr nello stato è . Per i casi di degenerazione o di autovalori continui, v. pag. 348.
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lo spazio hilbertiano è riferito a quel particolare sistema, di assi che abbiamo chiamato «continui» (v. § 2) (individuato ciascuno da un gruppo di
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(1) Se gli autovalori sono in parte discreti ed in parte continui, e se l'autovalore su cui si fissa l'attenzione appartiene ai primi, le formule di
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parte continui, e se l'autovalore su cui si fissa l'attenzione appartiene ai primi, le formule di questo § e del successivo continuano a valere
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risultato ottenuto si può enunciare dicendo che, anche nel caso di sistemi continui, il baricentro sempre definito dall’equazione vettoriale (8) del n
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Se poi codesti punti sono distribuiti in sistemi continui (a tre, o due, o una dimensione), le somme suindicate vanno sostituite con integrali di
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Accademia della crusca
