Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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noto che secondo la meccanica classica il punto esegue delle oscillazioni armoniche intorno ad O con ampiezza e fase arbitrarie (dipendenti dalle
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dove le sono altre f costanti arbitrarie.
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dove è una costante arbitraria. Si tratta ora di trovare una soluzione di questa equazione, che contenga, oltre ad altre costanti arbitrarie
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una soluzione di questa equazione, che contenga, oltre ad altre costanti arbitrarie . Trovata questa, le equazioni del moto si hanno scrivendo le
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dove A e , sono due costanti arbitrarie: il momento coniugato alla x è
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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posizioni delle componenti previste dalla teoria, e la loro lunghezza misura, in unità arbitrarie, l'intensità calcolata (il confronto riguarda solo i
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. ,, mentre restano arbitrarie: per i = 4 si trova invece dalle prime due equazioni, e dalle altre due . In conclusione si ha:
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che il loro rapporto non sia una costante), l'integrale generale si ottiene facendone una combinazione lineare mediante due costanti arbitrarie c1
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sei costanti arbitrarie Cfr. la nota a piè di pagina 97. . Abbiamo dunque ∞6 moti diversi aventi la data accelerazione.
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Per individuarne uno, o, in altri termini, per determinare le sei costanti arbitrarie dell’integrale generale, occorre aggiungere delle opportune
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dove designano le componenti (arbitrarie) della velocità v o nell’istante t = 0 (velocità iniziale).
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dove x o, y o, zo son le coordinate (arbitrarie) della posizione P o del punto nell’istante t = 0 (posizione iniziale).
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generale di una tale equazione dipende da due costanti arbitrarie. Concludiamo quindi che la (381) fornisce l’integrale generale della (40') ed r e Θ0
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che la (41) ne fornisce l’integrale generale, ove si considerino le r e Θ0 come costanti arbitrarie. In altre parole l’ equazione lineare , a
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dove c l, c 2 son le costanti arbitrarie.
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dove r, Θ, denotano due costanti reali arbitrarie. Con ciò integrale generale assume la forma
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Risulta dalla precedente dimostrazione che come guide rettilinee si possono scegliere due rette arbitrarie per O, in particolare due rette ortogonali
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curva) in funzione dell’unico parametro variabile α, mentre a, b, P designano costanti positive a priori arbitrarie.
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che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δq h , delle coordinate lagrangiane (anche se i vincoli
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questo caso dalle (15), dove per altro le δq h non sono più arbitrarie ed indipendenti, bensì legate fra loro dalle l' equazioni lineari omogenee
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(13') dipende da sei costanti arbitrarie, cosicché nelle date condizioni sono possibili pel punto ∞6 moti diversi, ciascuno dei quali si individuerà
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nel cui integrale generale compaiono le ulteriori quattro costanti arbitrarie.
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dove designano due prime costanti arbitrarie, cioè la terza componente della velocità e la terza coordinata del punto nell’istante t = 0; onde si
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il cui integrale generale conterrà due nuove costanti arbitrarie.
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dove designano quattro costanti arbitrarie; onde risulta che, se la velocità iniziale è parallela alla direzione fissa della forza, si ha un moto
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quarta è del primo; ed è facile fare il computo delle costanti arbitrarie, da cui dipende l’integrale generale.
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dipendente da sette costanti arbitrarie. Ma codesto sistema, come si verifica col calcolo inverso a quello or ora indicato, implica la (18'), talché ammette
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e noi dobbiamo disporre di una delle sette costanti arbitrarie per rendere uguale ad 1 il secondo membro. Così si conclude che l'integrale generale
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dove φ e C designano due costanti arbitrarie, dopo di che, moltiplicando la prima di queste equazioni per la seconda per e sottraendo membro a membro
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Per la determinazione delle quattro costanti arbitrarie, valgono gli stessi criteri indicati ai nn. 21, 22, adattati, beninteso, al caso di un
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Notiamo infine che l’integrazione del sistema (20), (21) introduce, oltre la φ, altre tre costanti arbitrarie, come si riconosce agevolmente in base
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eguaglianza per determinazioni affatto arbitrarie dei vettori suddetti, il che esige, come è facile riconoscere, l’identico annullarsi dei rispettivi
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La (10') deve sussistere per qualsiasi spostamento virtuale del sistema, cioè per ogni possibile scelta delle arbitrarie δq h (in particolare quando
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(dove le δq h sono arbitrarie e indipendenti) risulta reversibile (Cap. VI, n. 14), le condizioni necessarie e sufficienti perché il sistema sotto
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Ora è facile assegnare per le F i delle espressioni che, dipendendo da costanti arbitrarie, rendono soddisfatte, per qualsiasi scelta di codeste
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linearmente da r + s costanti arbitrarie essenziali, quante appunto ne compaiono nella espressione
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dove compaiono tre costanti arbitrarie di integrazione.
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Si hanno dunque, corrispondentemente alle possibili scelte di codeste tre costanti arbitrarie, moti aventi la data velocità (costante) v; e ciascuno
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Anche qui dunque, per la presenza delle tre costanti arbitrarie di integrazione, si hanno moti, e si può individuarne uno prefissando la posizione
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costanti arbitrarie, che, beninteso, non hanno se non eccezionalmente carattere di costanti additivo È bene ricordare che per un sistema di equazioni
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risolubile rispetto alle derivate di ordine massimo, esiste, in generale, un sistema integrale dipendente da un numero di costanti arbitrarie uguale
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Esistono dunque, anche in questo caso generale, moti diversi, aventi la data velocità v; ed anche qui, disponendo delle tre costanti arbitrarie, si
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Accademia della crusca
