con coefficienti interi. Quando vi siano g relazioni di questo tipo, il sistema dicesi g volte degenere: se il moto di un sistema a f gradi di
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si
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Difatti, dette le componenti di g, si ha, analogamente alla (48),
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Infatti, dalla (49) si ha, ponendo al posto di g (vettore arbitrario) ,
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Similmente si troverà la formula (ottenibile dalla precedente con lo scambio di con e di f con g)
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Data un'osservabile X, e data una funzione , l'osservabile G = f(X) è definita dal seguente insieme di operazioni: eseguire l'osservazione X e sul
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Xr: se invece la X ha uno spettro continuo di valori X', con densità di probabilità P(X'), i valori G' della osservabile G formano uno spettro
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diremo che G è la somma di X, Y, Z,..., e scriveremo (1) Questa definizione non permette di costruire il procedimento di misura di G conoscendo
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Dalla definizione di somma si può passare a quella di « prodotto simmetrizzato», cioè di . Difatti, supposto che esista un'osservabile G tale che G
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Ammettiamo perciò il seguente postulato: ad ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano che ha le seguenti proprietà
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un autovalore multiplo) l'ampiezza di probabilità che una misura di G dia il risultato Gr. Vale a dire, chiamando questa componente, cioè ponendo
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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operatore , con autovalori Ar e autofunzioni . Sia poi G un'altra osservabile definita come funzione di A, cioè G = F(A): i possibili risultati di una
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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e che la corrisponde all'autovalore 0. Naturalmente anche qualunque funzione di questa G soddisfa la condizione voluta. (v. E: FERMI, N. Cim., VII
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La (115') dà, in particolare, se G è una coordinata cartesiana ,
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Se G non dipende esplicitamente da t, nel secondo membro mancherà il primo termine.
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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all'autovalore g', cioè che
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Analogamente, in meccanica quantistica definiremo come integrale primo un'osservabile G tale che la sua derivata definita da (118) sia identicamente
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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un'osservabile G, quando il sistema è nello stato , è data, come si è visto, da , dove non dipende dalla ma solo dall'osservabile G e dal suo autovalore Gn
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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Quindi le soluzioni F+ e G+ delle (346) avranno per espressione asintotica poichè si cercano soluzioni tendenti
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Come è noto, un grammo-molecola è un numero di grammi uguale al peso molecolare. Perciò, conoscendo il numero di Avogadro N, si ottiene il peso in g
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La gittata G, cioè la lunghezza (36) della corda OL sarà data da
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onde, sostituendovi la gittata G e tenendo conto della (35'), si conclude che l’altezza del tiro è uguale al quarto dell'abbassamento corrispondente
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accelerazione g della gravità. Ove si assuma per g il valore di 9,80m/sec2, si ha dalla (5) la formula approssimata
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che l’accelerazione di gravità g in unità C. G. S. è a Roma 980.38; a Padova 980.66, ecc; adotteremo il valore approssimato 980, o in cifra tonda, 103.
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vettore G - O e il baricentro G stesso. Nel caso della retta, basta analogamente prendere O sulla retta e aver riguardo alla (8).
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se x i, y i, z i designano le coordinate dei punti P i del sistema e x 0, y 0, z 0 quelle del baricentro G.
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qualunque sia la legge con cui tendono a zero i volumi delle singole particelle di C; onde si conclude che G' ammette in ogni caso, come posizione
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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Si può anche aggiungere, designando con N l’intersezione di OM colla corda AB, che G deve appartenere al segmento MN.
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Introduciamo ora il baricentro G dell’area σ. Per la coordinata y 0 la (12') dà
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che dimostra il teorema di Guldino, poiché αy 0 è precisamente l’arco descritto in una rotazione di ampiezza α, dal baricentro G di σ.
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Prendiamo per asse delle z l’asse r0 parallelo ad r, passante per il baricentro G. La retta r avrà per equazioni:
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Ciò posto, si supponga che G oζ sia asse di simmetria per l’area σ, e si dimostri, ricordando il teorema di Guldino (n. 17) che
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per O, cioè nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrà trovarsi sulla verticale del punto fisso O. Ma bisogna distinguere tre casi, secondo
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nel cilindro (o nel suolo o in entrambi) intervenga una qualche deformazione, sì che il contatto abbia luogo non secondo una sola retta g, ma in tutta
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Ciò posto facciamo intervenire il baricentro G del sistema, la cui coordinata verticale z 0 è
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§ 7. – Peso e attrazione terrestre. Variazione di g colla latitudine - Deviazione della verticale.
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dell’attrazione terrestre G, così quest’ultima è sensibilmente la sola forza agente su P. Sarebbe quindi necessario e sufficiente elidere G per
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Così procedendo, riconosceremo anzitutto, con un semplice apprezzamento qualitativo, che il comportamento di G + χ risponde in realtà a quello
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variazione di G,
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il valore di G essendo e quindi indipendente da λ, anzi addirittura una costante su tutta la superficie terrestre.
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Detta g 0 la gravità all’equatore (dove λ = γ = 0), si ha dalla prima delle formule scritte
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millimetro, di sicuro) alle effettive variazioni di g, purché si attribuisca ad ε, non il valore ipotetico ma un opportuno valore numerico, cioè ε = 0,005302 e
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6. Sia C un corpo uniformemente ruotante attorno ad un asse fisso, G il baricentro del corpo (solidale con C) e O la proiezione di G sull’asse. Si
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Accademia della crusca
