Nel seguito ci occuperemo solo degli operatori lineari(o. l.) cioè di quelli che godono le due proprietà seguenti:
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b) I simboli log, sin, cos, ecc. sono altrettanti operatori, che mutano la funzione f,...) nella funzione log f), sin f, ecc.
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c) Il simbolo è un operatore che muta ogni funzione derivabile f(x) nella sua derivata. Similmente (per le funzioni di più variabili) sono operatori
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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(1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui si possano applicare gli operatori in questione.
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La classe degli operatori lineari gode delle proprietà di alto interesse matematico (v. bibl. n. 33): noi ci limiteremo qui alle nozioni essenziali
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si possano applicare gli operatori in questione.
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Si possono definire delle operazioni di combinazione tra operatori lineari analoghe alle operazioni di somma, differenza, ecc. con cui si possono
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il che significa che per gli operatori e definiti dalle (14) vale, invece della proprietà commutativa, la seguente formula di permutazione:
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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operatori non identica all'algebra ordinaria. Quando avviene che i due o. l. e coincidano si dice che e sono permutabili.
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È evidente che valgono per gli operatori gli ordinari teoremi sulle potenze, p. es. = (n, m interi, positivi, nulli o negativi), ecc.
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Naturalmente il prodotto di due matrici non è commutativo, eccettuato il caso che i due operatori corrispondenti siano permutabili, nel qual caso
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Allora non solo gli operatori, ma anche le funzioni sono rappresentate da matrici, e si verifica subito che per applicare a una funzione f un
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Tali operatori diconsi hermitiani.
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Ciò discende immediatamente dal fatto che sia la (45) che la (45') traducono la stessa relazione tra gli operatori. Del resto, sarebbe facile
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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Nel seguito, ci occuperemo soltanto di operatori hermitiani e di matrici hermitiane.
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rispettivamente con gli operatori (hermitiani)
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e applicando gli operatori ottenuti alla .
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Ora, avendo già riconosciuto che gli operatori corrispondenti alle coordinate sono le stesse, e quelli corrispondenti ai momenti sono , possiamo
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loro operatori siano permutabili.
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In modo analogo si ragiona per il caso che entrambi gli operatori siano degeneri o incompleti, nel qual caso il legame tra i risultati delle due
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dell'impulso , sono osservabili incompatibili: difatti i loro operatori sono rispettivamente, come si è visto,
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L'aspetto paradossale di queste equazioni scompare quando si tenga presente che esse si riferiscono non alle grandezze fisiche e ma ai loro operatori
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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Secondo quanto si è detto a proposito della (118) queste relazioni tra operatori traducono le seguenti relazioni tra i valori medi delle
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x, y, z rispettivamente, e ricerchiamo anzitutto gli operatori ad esse corrispondenti.
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che, introducendo le notazioni vettoriali anche per gli operatori, si riassumono nella formula
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Ricerchiamo ora le autofunzioni e gli autovalori di questi operatori. Prendiamo p. es. : osserviamo che, se si introducono coordinate polari , con
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(dove indica una somma fatta cambiando x successivamente in y e z). Ora, tenendo presente il significato degli operatori , si vede che
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Si osservi che l'operatore , e quindi anche , è permutabile con ciascuno degli operatori . Difatti si ha, per le (125),
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. § 18) e le sono le autofunzioni comuni a tutti i loro operatori.
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Se vogliamo legare questa rappresentazione al metodo degli operatori, ricorderemo (v. § 5) che gli elementi di questa matrice si ottengono
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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In corrispondenza a questa rappresentazione, è conveniente rappresentare gli operatori mediante matrici, osservando che essi hanno solo due
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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la quale, introducendo gli operatori
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che si potrebbero anche scrivere, esplicitando gli operatori,
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l'equazione per una particella in un campo magnetico (v. form. (142'), § 31) differisce da quella in assenza di campo per avere, al posto degli operatori gli
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Applicando gli operatori definiti al § 50 si trovano subito le formule:
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Agli operatori di spin si applicano, naturalmente, tutte le considerazioni esposte nel cap. II per gli operatori corrispondenti alle altre
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che le proiezioni dello spin sui tre assi sono rappresentate dagli operatori:
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(1)La particolare scelta adottata per le matrici fa sì che risulti diagonale: ciò significa che gli operatori sono rappresentati «nello schema ». Con
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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Per raccogliere i primi due termini in un'unica sommatoria, conviene definire gli operatori
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tali e ). Gli operatori si trasformano come le componenti di un quadrivettore (come si riconosce subito dalle (299')) cioè secondo le formule
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Scriviamo l'equazione di Dirac nella forma (300), sostituendovi le con le e la con una nuova funzione ; avremo, esplicitando gli operatori mediante
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dove si è indicato con l'hamiltoniano relativo alla prima particella, con quello della seconda (trascurando la loro interazione): questi operatori
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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Accademia della crusca
