(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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successione di onde illimitata nello spazio (da [simbolo eliminato] ) a [simbolo eliminato] ) e, quindi, nel tempo: useremo invece la parola «gruppo
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(1) Con la parola «treno» designamo una successione di onde illimitata nello spazio (da [simbolo eliminato] ) a [simbolo eliminato] ) e, quindi, nel
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convenzione che A(-k) rappresenti ampiezza e fase delle onde regressive di numero d'onde k.
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Così, data la distribuzione iniziale della f, il teorema di Fourier ci insegna a decomporla nella sovrapposizione di infiniti treni d'onde
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Esempio: gruppo d'onde di ampiezza costante. - Applichiamo le considerazioni precedenti al caso che la distribuzione iniziale della f sia quella
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Si può dire dunque che: se si tronca un treno d'onde monocromatiche, esso perde la monocromaticità, e la riga spettrale che gli corrisponde assume
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L'osservazione con cui si chiude il § precedente è di fondamentale importanza, e può venire estesa anche a gruppi d'onde di ampiezza non costante
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(1) Poichè supponiamo di osservare solo le onde «progressive», consideriamo solo i valori positivi di k.
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(1) Applicandola p. es. al gruppo d'onde della fig. 19, questa definizione darebbe (approssimativamente) .
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In modo perfettamente analogo definiremo come centro del gruppo d'onde il punto x dato da:
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Questa speciale forma del gruppo d'onde presenta la particolarità che la A(k) è rappresentata da una formula analoga alla f: si trova difatti usando
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Per comprendere come un gruppo d'onde possa, nel suo insieme, spostarsi con velocità diversa da quella delle singole onde, si osservino le onde
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Le cose dette nei §§ precedenti si estendono senza difficoltà alla propagazione di onde in tre dimensioni. Un treno di onde piane monocromatiche può
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Si osservi che la velocità di gruppo v è generalmente diversa dalla velocità con cui si spostano le singole onde (velocità di fase): difatti
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Sovrapponendo infiniti treni d'onde siffatti di tutti i possibili numeri d'onde e di tutte le direzioni, si ottiene una f rappresentata da
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ovvero, introducendo, invece di λ, il numero d'onde k = 1/λ, e ponendo
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rappresenta un pacchetto d'onde (che è l'analogo tridimensionale del «gruppo d'onde» definito nel § 13). Un particolare pacchetto d'onde si può p. es
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Mediante lo sviluppo di Fourier un pacchetto d'onde si può considerare ottenuto sovrapponendo infiniti treni d'onde monocromatici, di diverso vettore
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Ed analogamente per la sovrapposizione di quanti si vogliano treni d'onde, vale a dire per una radiazione qualunque.
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Occupiamoci ora dell'impulso del fotone. Ricordiamo perciò (v. § 15) che il pacchetto d'onde si può considerare risultante dalla sovrapposizione di
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dove L è la massima differenza di cammino ottico utilizzata dal reticolo. Ora questa non può evidentemente superare la lunghezza 2l del gruppo d'onde
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risulta tanto più indeterminata, quanto più corto è il gruppo d'onde, cioè quanto più esattamente è determinata, in ciascun istante, la posizione dei fotoni
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dalle sei componenti del campo elettrico E e di quello magnetico H, ciascuna delle quali soddisfa l'equazione delle onde, che per Ex, p. es., è:
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l'equazione delle onde
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, z. La si propagherà dunque per onde (onde di De Broglie), le quali però non hanno alcuna esistenza materiale, ma rappresentano solo un mezzo
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«indice di rifrazione» dello spazio per le onde di De Broglie e che sarà funzione, in generale, oltrechè di x, y, z, anche della frequenza v di queste
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Procediamo anzitutto all' identificazione delle due traiettorie. Quella del pacchetto d'onde non è altro che un «raggio» ed è quindi determinata
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La velocità di fase delle onde di De Broglie è dunque
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Tenendo conto della (125), la relazione (123') tra la velocità di fase V delle onde di De Broglie di frequenza v ed il potenziale U diviene
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Questa formula rappresenta (v. § 12) un treno di onde piane progressive di lunghezza d'onda
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sovrapposizione di onde progressive e regressive: poichè supponiamo la particella proveniente da , e non da , nella regione II non vi dovranno essere onde
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Come si vede, poichè e hanno lo stesso modulo, le onde riflesse hanno uguale ampiezza di quelle incidenti, si ha cioè
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nel secondo mezzo, nelle immediate vicinanze della superficie riflettente: però nel caso delle onde luminose la riflessione totale si produce solo se
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dove e sono date dalle (23') del § 8. Poichè il primo di questi due termini rappresenta delle onde progressive di «numero d'onde» ed il secondo delle
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da rappresentare un gruppo d'onde tanto più ristretto, quanto più precisa è stata la determinazione iniziale della x: Schrödinger ha poi dimostrato che
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(1) Vi è però la differenza, che con le onde diDe Broglie il fenomeno si produce anche se l'incidenza è normale, e con la luce no.
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Passiamo ora a considerare le soluzioni più generali, ottenute sovrapponendo infiniti treni d'onde come il precedente con diversi vettori di
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Questa formula coincide con la (78') del § 15: come si è visto, essa rappresenta un treno d'onde piane avente per «vettore di propagazione» k, quindi
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È chiaro che un sistema di onde piane propagantesi nella direzione di coseni , darà luogo, riflettendosi sulle pareti, a sistemi di onde
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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Si noti che, mentre nel caso di una sola particella la rappresenta delle onde, fittizie, ma nello spazio ordinario, nel caso di N particelle non si
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formule che coincidono con quelle del cap. I, p. II, che definiscono il centro d'un pacchetto d'onde e il suo vettore di propagazione medio.
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Applichiamo questo risultato per ritrovare, generalizzandolo e precisandolo, il principio che un pacchetto d'onde si muove come un punto nella
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, che più propriamente si chiama anche «numero d'onde», perchè rappresenta il numero delle lunghezze d'onda contenute in un cm. L'uso del «numero
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(1) Analogamente, nella teoria elettromagnetica della luce, l'equazione delle onde (del 2° ordine) è conseguenza delle equazioni di Maxwell (del 1
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(2) La ragione analitica di questo fatto sta nella circostanza che le onde piane a energia cinetica positiva non costituiscono, da sè sole, un
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cristallo le onde riflesse. Uscendo, esse subiscono una rifrazione, e quindi il raggio emergente (normale alle onde emergenti) forma con la normale
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Le onde riflesse dai vari piani reticolari paralleli alla superficie ss di regola si distruggono tra loro salvo il caso che sia soddisfatta la
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rapporti tra i fotoni e le onde elettromagnetiche (v. § 13) si trasporta senz'altro ai rapporti tra gli elettroni e le onde di De Broglie. Nel caso della
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Accademia della crusca
