delle formule per la rotazione degli assi coordinati: tali coefficienti sono, come è noto,
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. Similmente si definiscono, con formule analoghe alla (65), le tre semilunghezze Ax, Ay, Az che danno una idea delle dimensioni del pacchetto lungo i tre assi.
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dopo la diffusione (se chiamiamo gli angoli formati con gli assi coordinati dalla direzione nella quale il quanto è stato diffuso) l'impulso del
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Conviene (come al § 15), introdurre il vettore k di componenti (e quindi di modulo k) ed il vettore r avente l'origine nell'origine degli assi e
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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Ora introduciamo un sistema di assi x', ruotanti in modo da accompagnare il moto di precessione: rispetto a questi il moto sarà periodico e quindi
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È noto che conviene spesso designare un insieme di N numeri come un punto P in uno spazio a N dimensioni (riferito ad assi cartesiani numerati da 1
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che essi definiscono nello spazio hilbertiano un sistema di assi coordinati ortogonali (uno per ogni valore di n), allo stesso modo come una terna di
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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Siamo stati così condotti a considerare, nello spazio hilbertiano, oltre al primitivo sistema di assi corrispondenti agli infiniti valori di x (che
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Vogliamo ora cercare che relazione intercede tra le componenti del vettore f rispetto ai nuovi e agli antichi assi, cioè tra le e le . Cominciamo
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con le stesse condizioni agli estremi): esse definiranno un altro sistema di assi ortogonali, individuati dai versori. Rispetto a questi assi il
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componenti dei versori y rispetto agli assi : le indicheremo con ponendo
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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Si è visto che un operatore , fissato un sistema, di assi (individuati dai versori nello spazio hilbertiano, è rappresentato da una matrice i cui
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assi). Infatti, si noti che (ponendo, al solito, F = si ha, per la (10) e la (22)
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Le direzioni di questi vettori si chiamano assi principali dell'o. l. , e qualunque vettore che giaccia lungo uno di questi assi viene dall'operatore
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di come multiplo d'ordine infinito. Difatti, sia un qualunque sistema completo di assi ortogonali nello spazio delle funzioni di : la di cui sopra si
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Condizione necessaria e sufficiente perchè due o. l. e ammettano un sistema completo di autofunzioni (e quindi di assi principali) in comune, è che
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Assumiamo gli assi principali di (di versori ) come assi coordinati nello spazio hilbertiano, e ricerchiamo la forma che assume la matrice che
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Sia ora dato un o. l. mediante la matrice che lo rappresenta rispetto ad assi generici : vogliamo trovare la matrice (diagonale) che rappresenta
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. Diremo dunque che: «un o. l. è rappresentato, rispetto ai suoi assi principali, da una matrice diagonale: gli elementi diagonali di questa sono gli
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). Tutto ciò coincide, come si riconosce, col procedimento classico per determinare gli assi principali di una quadrica a centro (i cui coefficienti dei
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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Per passare da un sistema di assi a un altro sistema si dovrà introdurre una «matrice di trasformazione» (continua) definita da (v. (33))
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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L'introduzione della funzione impropria ci permette di considerare formalmente gli assi dello spazio hilbertiano che abbiamo chiamati «continui» al
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assi sono proprio gli «assi continui» introdotti al § 1: difatti la proiezione di una qualunque funzione f(x) sull'asse corrispondente all'autovalore x
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Quando poi il sistema non è in uno stato stazionario, cioè la ha la forma generale , ossia il vettore non è diretto secondo uno degli assi principali
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Siano le coordinate del nucleo, quelle dell'elettrone (rispetto ad assi fissi qualunque) e siano i momenti rispettivamente coniugati a queste
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G e i suoi assi principali, individuati dalle autofunzioni dell'equazione
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su questi assi, come probabilità del valore si deve prendere
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Se, in particolare, il vettore di stato giace su uno degli assi principali di (cioè se ), il sistema è in uno stato tale che una misura di G dà con
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L'interpretazione geometrica di quanto sopra è la seguente. Se l'autovalore Gr è multiplo d'ordine p, ad esso corrispondono infiniti assi principali
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(quindi diviene ) il quale è anche uno degli infiniti assi di appartenenti a un certo autovalore Bs, multiplo d' ordine p (eventualmente ), che
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Si può dimostrare che se G è un integrale primo, i suoi autovalori sono costanti (anche se G contiene esplicitamente t) e inoltre, sebbene gli assi
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Come applicazione dei §§ precedenti, consideriamo le tre osservabili , momenti dell'impulso (o momenti angolari) di una particella rispetto agli assi
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lo spazio hilbertiano è riferito a quel particolare sistema, di assi che abbiamo chiamato «continui» (v. § 2) (individuato ciascuno da un gruppo di
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assi nello spazio hilbertiano), ogni vettore di tale spazio può essere rappresentato dalle sue componenti fn rispetto ai detti assi, e similmente ogni
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Fissiamo anzitutto un sistema di assi di riferimento nello spazio hilbertiano, scegliendo (1) Se il sistema è a più gradi di libertà, si dovrà
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questo schema evidentemente le direzioni degli assi di riferimento sano date dalle autofunzioni della equazione di SCHRÖDINGER.
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a quella che sarebbe emessa da un oscillatore il cui momento elettrico avesse, sui tre assi, le componenti
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riconosce subito, gli stessi. Ciò corrisponderebbe a moltiplicare i versori, che individuano gli assi nello spazio hilbertiano, per fattori di modulo 1, il
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L'operatore hamiltoniano perturbato sarà invece rappresentato rispetto agli stessi assi da un, matrice non diagonale (in cui però gli elementi non
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(ossia, definirà una rotazione piccolissima degli assi di riferimento), e perciò la scriveremo nella forma
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Determinata così la matrice di trasformazione , ricordiamo che i versori degli assi ruotati si ottengono da quelli degli assi primitivi mediante la
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che le proiezioni dello spin sui tre assi sono rappresentate dagli operatori:
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Accademia della crusca
