difatti, se si moltiplicano i due membri della (31) per (dove r è uno qualunque degli indici 1, 2,...) e si integrano fra r e b, al secondo membro si
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), al secondo membro si annullano tutti i termini della prima sommatoria, ed in virtù della (46) quelli della seconda si annullano tutti tranne l' r
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8:r 4k.
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In. modo analogo, considerando f(r, t) come funzione solo di t (cioè fissando l'attenzione su un determinato punto dello
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dove P ed R sono due funzioni di x ed y (che supporremo analitiche): spesso in R figura una parametro (come nella (14)), cioè l'equazione è
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dove è la distanza di F dal piano xy. Così le coordinate x ed y restano determinate con un' incertezza dell' ordine di grandezza di r:
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: perciò R può chiamarsi coefficiente di riflessione del gradino, mentre
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forza, ed il potenziale U risulterà funzione della sola r.
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dove C è una costante. La prima di queste non contiene la funzione U(r), e quindi è comune a tutti i problemi di forze centrali: nella (222) dunque
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Cerchiamo di separare la variabile r da e da ponendo
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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Occupiamoci ora del fattore R(r) della (222), che dipende dalla legge della forza. Esso soddisfa l'equazione (224) dove
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cioè una costante: la u dunque in tal caso dipende solo da r (simmetria sferica).
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Alla y va inoltre imposta la condizione che per la R si mantenga finita, quindi
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e che per la R tenda a zero non meno rapidamente di e quindi la y tenda ad un limite finito od a zero.
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e, poichè , e i due ultimi fattori si sono già normalizzati conformemente alle (231) e (244), risulta che R dovrà essere normalizzato in modo che sia
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fattore R(r). Ricapitolando le successive posizioni (249), (257), (260), (262) avremo
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cosicchè l'espressione esplicita di in funzione di r è la seguente (dove si è posta per l'espressione (268), per mettere in evidenza la sua
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per essi ha interesse la considerazione della R(r) e più ancora della funzione R2(r) poichè, fissata una semiretta uscente dal nucleo (cioè fissati e
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Vi sono generalmente, come si vede dalle figg. 40 e 41, dei valori di r per cui la R(r) si annulla: essi corrispondono a sfere sulle quali la densità
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C. R., 183 (1926), p. 24.
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quindi i momenti coniugati a r, sono rispettivamente
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L'effetto del movimento del nucleo è quindi quello di sostituire la costante di Rydberg R con quella, lievemente minore, . Questa correzione
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sferica di elettricità in un punto interno ad essa, a distanza r dal centro, è lo stesso che sarebbe prodotto da quella parte della carica elettrica che è
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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Ora si osservi che, a causa del movimento di precessione, r ed non hanno lo stesso periodo: indicando con e le rispettive frequenze, e con la
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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ma, essendo la prima sommatoria si riduce al solo termine in cui r = k, cosicchè l'equazione diviene
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Naturalmente, se avesse degli autovalori continui G', nella si dovrebbe sostituire l'indice discreto r con la variabile continua G', e si dovrebbe
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dove con si è indicato l'operatore, indipendente da r,
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e poichè è un operatore che non coinvolge r, esso è sempre permutabile coi primi due termini di questa espressione: se poi la forza è centrale, U è
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dove R è la costante precedente, ed n', n sono due numeri interi. Facendo n'=1, ed n= 2, 3, 4... si hanno le frequenze della serie di Lyman:
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L'energia del sistema (forza viva più energia potenziale) si può quindi esprimere in funzione della sola r, e risulta
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cosicchè, sostituendo nella precedente e risolvendo rispetto ad r, si ricava che il raggio dell'orbita n-esima, che si suol indicare con an, è
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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Annullando poi il coefficiente di r si trova:
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L'altro punto eventualmente singolare è r = 0: ivi le espressioni precedenti sono regolari se , mentre se divengono infinite dell'ordine di : tale
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Infatti, si consideri dapprima una trasposizione (r, s) cioè lo scambio di due soli indici, r, s, e si indichi con il fattore () per cui resta
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Per una discussione critica dei valori numerici di queste e di altre costanti fisiche, vedasi R. T. BIRGE, Phys. Rev. Suppl. (Rev. of Mod. Phys.) 1
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Se poi C contiene linearmente un parametro λ, come nella (8), sarà così anche di R, e l'equazione (12) avrà la forma
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La variabile p r, che prende il nome di momento coniugato alla q r, è data, per definizione, da
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Dalla forma delle equazioni di Hamilton risulta che, note le q r e le p r al tempo t = 0, resta determinato lo stato del sistema, e quindi i valori
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corrispondenza tra i punti dello spazio delle fasi e gli stati del sistema: invero, dato lo stato, sono noti i valori delle q r e delle p r, e quindi si
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coordinate q r e p r del punto rappresentativo e cioè le 2f componenti della sua velocità nello spazio a 2 f dimensioni delle fasi.
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dove la costante k, detta costante di Boltzmann, non è altro che il rapporto tra la costante R dei gas perfetti e il numero di Avogadro. Il valore di
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possibili per l'energia, ha conseguenze statistiche assai notevoli. Siano w 1, w 2, ..., w r ... i livelli energetici di un atomo o molecola. Possiamo
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come espressione dell'energia termica del corpo solido. Se, p. es., ci riferiamo ad un grammo-atomo, N è il numero di Avogadro; quindi Nk = R. La
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: siano N 1, N 2,..., N r ... i numeri di corpuscoli che occupano rispettivamente il 1°, 2°, ... r mo, ... stato quantico; esiste uno, e un solo, stato
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Accademia della crusca
