24. Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della definizione di accelerazione risulta senz’altro che le formule (26) restano valide comunque si
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50. Formula del Binet. - Ciò posto applichiamo le formule (56) (57) al caso dei moti centrali. Per la definizione stessa essi sono caratterizzati
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soddisfare alle note condizioni (formule (7) del n. 8 del Cap. I) esprimenti che i vettori i, j, k sono unitari e a due a due ortogonali.
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21. Formule di Poisson. - Dopo esserci soffermati a studiare i tipi particolari più notevoli di moti rigidi, ritorniamo al problema generale posto al
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che si designano sotto il nome di formule del Poisson Siméon Denis Poisson, n. a Pithiviers (Loiret) nel 1781, m. a Parigi nel 1840, insegnò
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promotori di questa disciplina. Le formule ricordate nel testo si trovano nel suo classico Traité mécanique, Paris, 1831.
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e, tenendo conto delle formule del Poisson, otteniamo
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[Si tenga conto della (23) e delle formule del F renet: Cap. I, n. 80].
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la velocità angolare ω del moto (rigido) di trascinamento. In base alle formule del Poisson (Cap. prec. n. 21) l'espressione (7) di a c, si può
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Se ne desume che le componenti cercate sono date dalle formule
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antichi, varranno, in luogo delle (7), le formule
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), tutto procede concettualmente in modo analogo. Quanto alle formule e in particolare alla rappresentazione parametrica delle traiettorie, si verifica
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Le formule parametriche del moto epicicloidale non si prestano in generale ad un immediato passaggio al limite per a o b = ∞ . Questo si può invece
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Sia applicando materialmente le formule generali del n. 46, sia mediante considerazioni geometriche dirette, si trova che l è un’ellisse eguale col
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analiticamente; qui a complemento della trattazione indicheremo nel modo più rapido le formule fondamentali, per applicarle alla deduzione di qualche
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del tempo. Queste equazioni si possono dedurre sia particolarizzando le (6) del n. 4 del Cap. III, sia interpretando le note formule di
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Dalla (29) e dalle (24) del n. 24 si ottengono allora facilmente le formule seguenti:
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Dati due sistemi di vettori applicati, per verificare se essi siano equivalenti, si può, per es. ridurli all’origine delle coordinate. In formule, le
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Applicando in primo luogo queste formule ad un medesimo propulsore (λ = 1) in due diversi regimi di funzionamento, pei quali sia γ; il rapporto fra i
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Resta così definito il baricentro di un corpo qualsiasi; ed è manifesto che le considerazioni precedenti e le formule finali (11), (11') valgono
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Per precisare la posizione di G sulla MN, giova ricorrere alle formule, adottando un sistema di assi coll’origine in O, e coll’asse di simmetria per
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Ciò posto, se nelle formule relative al parallelepipedo, nelle quali intervengono soltanto a, b, c, ed m, si pone c = 0, si hanno senz’altro le
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Queste formule mettono in evidenza che si arriva al medesimo punto C qualunque sia l’ordine nel quale sono stati presi i vettori.
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date dalle formule:
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delle formule:
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con analoghe formule per le variabili y e z. Sommando le tre derivate seconde e tenendo conto che
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con formule analoghe relative alle altre coordinate e, più generalmente, a derivazioni ripetute. Ne segue in particolare
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è applicabile la stessa regola di derivazione, che vige per i prodotti ordinari; Valgono cioè le formule
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con formule analoghe per le derivate rapporto ad y e a z, come appunto volevamo dimostrare.
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’arco. Tale massa sta a quella dell’arco come all’arco stesso la relativa corda. In formule si ha quindi
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dove l’angolo α (compreso fra ) è definito dalla tangente a norma delle formule
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§ 11 . Proprietà differenziali delle curve . Formule del Frenet. - Eliche circolari. 73. Indicatrice sferica delle tangenti. - Dato, come al n. 69
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massima tensione τ sono definite (in termini del peso unitario p, della portata a e della tensione orizzontale agli estremi φ) dalle formule (23') e (26
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le (43), ove si tenga conto delle formule del Frenet (Cap. l, n. 79) e della identità evidente
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), passa la relazione [si osservino le formule (30) e (32)]
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13. In un arco di catenaria gli estremi si trovano allo stesso livello. Se a designa la portata, il valore massimo τ di T è [formule (31) e (33)]
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Se ne renda ragione mostrando in primo luogo che le formule relative alle forti tensioni implicano
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talché si è fuori dell’ambito in cui sarebbe legittimo (n. 32) l’uso delle formule approssimate.
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Si discuta la questione dell’esercizio precedente (massima portata compatibile colla condizione τ ≤ τ0), in base alle formule approssimate, cui
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3.° e ulteriormente, per un’elica circolare, in base alle formule del Cap. I, n. 83,
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inalterato, le componenti intrinseche di quest'’ultimo, Φ 1 secondo t, Φ 2 secondo n, Φ 3 secondo b, variano con φ a norma delle formule
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80.Formule del Frenet. Jean Frédéric Frenet, n. a Pèrigneux (Dordogne) nel 1816, m. ivi nel 1900, fu professore all’Università di Lione. Le formule
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Jean Frédéric Frenet, n. a Pèrigneux (Dordogne) nel 1816, m. ivi nel 1900, fu professore all’Università di Lione. Le formule che da lui si intitolano
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Riassumendo, le derivate dei tre vettori fondamentali t, n, b sono fornite dalle formule seguenti:
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talché si ha una sola equazione del tipo B [n. 30, formule (15')] e, quindi, un solo vettore a, definito dalle componenti
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Eseguendo la derivazione, e avendo riguardo all’ultima, delle formule del Frenet , si ha
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Confrontando ancora colla prima delle formule di Frenet, si ricava:
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e avendo riguardo alle formule di Frenet, risulta successivamente
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Detta g 0 la gravità all’equatore (dove λ = γ = 0), si ha dalla prima delle formule scritte
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dove r designa il raggio di curvatura in P. Si mostri che la seconda può essere dedotta dalla prima senza invocare le formule generali di Frenet.
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Accademia della crusca
