sei costanti arbitrarie Cfr. la nota a piè di pagina 97. . Abbiamo dunque ∞6 moti diversi aventi la data accelerazione.
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Per individuarne uno, o, in altri termini, per determinare le sei costanti arbitrarie dell’integrale generale, occorre aggiungere delle opportune
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soddisfa, comunque si scelgano le costanti r e Θ0, alla (40'), la quale è un’equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, omogenea del 2
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generale di una tale equazione dipende da due costanti arbitrarie. Concludiamo quindi che la (381) fornisce l’integrale generale della (40') ed r e Θ0
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Questa funzione di t soddisfa alla equazione differenziale (48), comunque si fissino le costanti r, Θ0; e poiché la (48) è del 2° ordine, si conclude
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Otteniamo così la equazione lineare a coefficienti costanti
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dove c l, c 2 son le costanti arbitrarie.
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41. Moti definiti da un’equazione differenziale lineare omogenea del 2° ordine a coefficienti costanti. - Movendo dall’osservazione del num. prec
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Nel caso di un’equazione a coefficienti costanti, quale la (49), cercando le soluzioni della forma e zt dove N denota una costante, si trova, che
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che, combinate linearmente con coefficienti costanti arbitrari, danno l’integrale generale. Poiché l'equazione oraria di un moto non può essere che
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dove r, Θ, denotano due costanti reali arbitrarie. Con ciò integrale generale assume la forma
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8. Dimostrare che, se in un moto piano sono costanti le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione, la traiettoria è una spirale logaritmica
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che si ottiene esprimendo che il vettore P - O ha rispetto agli assi mobili le componenti costanti x, y e x (Cap. I, n. 18).
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, costanti i tre vettori fondamentali i, j, k. Inversamente, se durante un moto rigido i, j, k sono costanti, tale risulta in virtù della (5), per ogni punto
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di verso concorde a quelli della terna fissa: allora i versori i, j, k , che, trattandosi di un moto traslatorio, sono costanti, avranno durante
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con V + V' costanti al pari di τ certamente non nullo. Poiché è ortogonale ad ω, esiste un ben determinato vettore d tale che sia
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fosse immobile rispetto alla terna Oxyz, cioè se il moto relativo (l) si riducesse alla quiete (relativa), rimanendo costanti le x, y, z.
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, per ogni qualsiasi centro di riduzione, vettori caratteristici costanti rispetto agli assi mobili.
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curva) in funzione dell’unico parametro variabile α, mentre a, b, P designano costanti positive a priori arbitrarie.
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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il che porge per x e y i valori costanti
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nel cui integrale generale compaiono le ulteriori quattro costanti arbitrarie.
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dove designano due prime costanti arbitrarie, cioè la terza componente della velocità e la terza coordinata del punto nell’istante t = 0; onde si
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il cui integrale generale conterrà due nuove costanti arbitrarie.
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dove designano quattro costanti arbitrarie; onde risulta che, se la velocità iniziale è parallela alla direzione fissa della forza, si ha un moto
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2. Lavoro delle forze costanti. - Nel comune linguaggio si dice, in generale, che un uomo lavora quando esplica uno sforzo muscolare a produrre un
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Sempre nel caso di forze costanti, dalle identità evidenti
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dei lavori di codeste forze, considerate come costanti, per i corrispondenti spostamenti ΔP. Indicata con v la velocità di P nel primo estremo del ΔP,
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talché, confrontando due forze costanti F1, F2 per lo stesso cammini s del punto mobile, avremo
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potenziale con applicazione al caso particolare in cui X = kx n, Y = k y n, Y = k y n (k, n costanti).
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dove le c designano costanti [definite dalle (23) in funzione dei giratori principali].
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quarta è del primo; ed è facile fare il computo delle costanti arbitrarie, da cui dipende l’integrale generale.
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dipendente da sette costanti arbitrarie. Ma codesto sistema, come si verifica col calcolo inverso a quello or ora indicato, implica la (18'), talché ammette
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e noi dobbiamo disporre di una delle sette costanti arbitrarie per rendere uguale ad 1 il secondo membro. Così si conclude che l'integrale generale
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dove φ e C designano due costanti arbitrarie, dopo di che, moltiplicando la prima di queste equazioni per la seconda per e sottraendo membro a membro
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Per la determinazione delle quattro costanti arbitrarie, valgono gli stessi criteri indicati ai nn. 21, 22, adattati, beninteso, al caso di un
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Notiamo infine che l’integrazione del sistema (20), (21) introduce, oltre la φ, altre tre costanti arbitrarie, come si riconosce agevolmente in base
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essendo A, B, α (nonché ζ) costanti e valendo per i segni la discriminazione sopra indicata. Nel caso particolare in cui Φ sia puramente assiale, A
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lungo una verga circolare sottoposta a sollecitazione uniforme (F t ed F n costanti). Si rilevi il significato statico delle costanti introdotte dall
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Ora è facile assegnare per le F i delle espressioni che, dipendendo da costanti arbitrarie, rendono soddisfatte, per qualsiasi scelta di codeste
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veramente alla condizione (18) di equilibrio, comunque siansi scelte le λk, ma a patto che le costanti μj siano tutte positive (o nulle).
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delle (20) una identità a coefficienti costanti
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tratta di un’elica cilindrica (circolare, se sono costanti entrambe le curvature).
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a t. Poiché rispetto alla terna Ωξηζ, che per ipotesi è fissa rispetto alla Oxyz, il punto O e i vettori i, j, k, sono costanti, si ottiene
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dove compaiono tre costanti arbitrarie di integrazione.
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Si hanno dunque, corrispondentemente alle possibili scelte di codeste tre costanti arbitrarie, moti aventi la data velocità (costante) v; e ciascuno
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Per individuare uno di codesti moti, ossia per determinare le tre costanti di integrazione, basta prefissare la posizione che il mobile deve occupare
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Anche qui dunque, per la presenza delle tre costanti arbitrarie di integrazione, si hanno moti, e si può individuarne uno prefissando la posizione
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costanti arbitrarie, che, beninteso, non hanno se non eccezionalmente carattere di costanti additivo È bene ricordare che per un sistema di equazioni
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risolubile rispetto alle derivate di ordine massimo, esiste, in generale, un sistema integrale dipendente da un numero di costanti arbitrarie uguale
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Accademia della crusca
