applicato il rappresentante B - A di v, tre rette r 1, r 2, r 3 aventi rispettivamente le direzioni prefissate, e per B si conducano i piani paralleli ai
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v a, a a, v r, a r.
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(dove n e P designano interi, a r , b s numeri reali, v r , w s vettori quali si vogliano) si fa come d’ordinario, colla sola restrizione che, in un
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Con tale avvertenza, possiamo dividere la prima equazione per r l (r + δ) e la seconda per ρλ (ρ + δ). Posto, per brevità di scrittura,
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27 . Premettiamo una considerazione qualitativa circa il verso di due rette orientate r, r', non appartenenti ad un medesimo piano. Proiettando da
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Per dimostrarla basta assumere r come asse delle z e osservare che l'ultima delle (27), la quale, se P appartiene a r, si riduce alla M z = xY-yX
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Dopo ciò è giustificata la definizione seguente: per momento M r di un vettore v applicato in A rispetto ad una retta orientata r intendesi la
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Passiamo a definire il momento assiale, cioè relativo ad una generica retta orientata r. A tale scopo importa stabilire la seguente proprietà: La
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Per definizione, il passo della ruota r vale quello della ruota R', analogamente L’eguaglianza si traduce nella legge di proporzionalità
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Dopo ciò, è giustificata la definizione seguente: per momento risultante di un sistema di vettori (applicati) rispetto ad una retta orientata r
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Se il risultante R non è nullo, si ha M’ = M (ossia (P - P') Λ R = 0), allora e allora soltanto che la retta P P ’ è parallela ad R.
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Ma, per definizione di prodotto vettoriale, il vettore (P-P') Λ r è perpendicolare ad R, onde risulta
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R = λ3 r;
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perpendicolare al vettore M e tracciarvi ad arbitrio due rette parallele r, r'. Detta b la loro distanza, si costruisca una coppia C, applicando su r, r
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(6')q = F (q l, q 2,..., q n| r| r').
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(6'') q = q l α, q 2 β, q 3 γ (1, 1, 1| r |r').
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Poiché r è una forza e quindi [r] = l t - 2 m si avrà, applicando il procedimento che conduce in generale alla (5),
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F + R = 0 ossia R = -F.
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Se invece r 1 ed r 2 sono parallele, è parallela ad esse anche r 2. Infatti, ove ad es. r 1 ed r 3 avessero un punto comune, in tale punto, per
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18. Definizioni. - Siano P un punto materiale di massa in m, r una retta generica, δ la distanza di P da r.
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relazione i momenti di inerzia relativi a due assi r, s posti comunque nello spazio. Basterà guidare per un punto, scelto a piacere su s, una retta r
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Prendiamo per asse delle z l’asse r0 parallelo ad r, passante per il baricentro G. La retta r avrà per equazioni:
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rappresentandosi con d' la distanza del baricentro dalla retta r, ossia la distanza dei due assi r'ed r 0 . L’eliminazione di Ί0 porge
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Inoltre se di un dato sistema si conosce il momento di inerzia Ί, rispetto all’asse r e la posizione del centro di gravità, la (15) permette di
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Per un cono (R 1 = 0, R 2 = R raggio della base) risulta in particolare:
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essendo R 1 ed R 1 i raggi delle due sfere che limitano l'involucro.
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La sezione mediana (con un piano perpendicolare all’albero) del mozzo è compresa tra le due circonferenze di raggi r 1 = 40 cm., r = 20 cm.; la
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33. Per un toro (r raggio medio, r raggio del cerchio generatore) si ha
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32. Per un cilindro cavo (R 1, R 2 raggi delle pareti esterna ed interna; h altezza) si ha
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Ne segue, essendo la forza attrattiva, che la componente radiale (cioè secondo la retta orientata QP) vale . È questa la funzione di r che abbiamo
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Ciò posto, indichiamo con r ed r' le distanze di P e di P' da un P punto generico Q di σ. In virtù della relazione ρρ' = R 2 i due triangoli QOP
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20. Attrazione di una crosta sferica omogenea, e in particolare di una sfera a strati concentrici omegenei. - Siano R 1 ed R 2 (R 1 > R 2) i raggi di
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e in particolare, per una sfera piena di raggio R, ( R 1= R, R 2 = 0),
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nei punti interni (ρ R), valendo indifferentemente entrambe le espressioni per ρ = R.
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) verticali. Ove se ne designino con R 1, R 2, R 3, R 4, le intensità rispettive, nell’ipotesi che l'equilibrio sia effettivamente possibile, la trave AA' sarà
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R A, R B; Φ A, Φ B.
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(2*) Ψ* = Ψ- R A, Ψ'* = Ψ' - R' A, Ψ''* = Ψ'' R''A,…
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(1*) F * A = F A + R A + R' A+ R'' A +…
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(3*) Φ A* = R A + Φ A , Φ B* = R B + Φ B,
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talché si ottiene per la componente v r, di v secondo la r l’espressione
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Ciò posto, il lavoro virtuale R x δP della forza R si riduce ad RΔ (per la definizione di prodotto scalare) e quello R' x δP' della R' - RΔ.
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Poiché il vettore a c = ω Λ v r, ove non sia nullo, risulta perpendicolare a v r, la relazione precedente, moltiplicata scalarmente per v r , porge
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onde si conclude v r = cost.; e poiché per ipotesi v r si annulla nell’istante t 0 si manterrà costantemente eguale a zero.
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8. Nel caso della sfera la sunnormale QN, ove r designa il raggio, è data da R cosζ, talché la (3') diventa
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che si annulli il momento risultante delle quattro coppie (motrice; resistente; p 1, R 1; p 2 R 2) rispetto all’asse di rotazione.
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15. Il momento della coppia (R 1, R 2) si calcola assai speditamente, immaginando di sostituire a tale coppia un sistema equivalente. E ciò coll
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donde, per la coppia R 1, R 2
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Per la coppia resistente (R 2, R'1), si ha analogamente ρ = OC come distanza dei punti d’applicazione, e ρ sinφ per braccio, dacché (n. 12, c)) R 2
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Il suddetto momento si presenta allora come differenza di due: spettante l’uno alla coppia (R 1, R'2), che è (cfr. le figure) motrice in ogni caso; l
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dove O è un punto fisso ed r una costante positiva, è la circonferenza di centro O e raggio r.
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Accademia della crusca
